Semikonvergente Entwicklungen für die Zylinderfunktionen und ihre Ausdehnung ins Komplexe. (Q1486656)

In einer im vorigen Jahre besprochenen Arbeit (s. F. d. M. 40, 510, 1909, JFM 40.0510.02) hatte der Verf. für die Zylinderfunktionen semikonvergente Reihen entwickelt, die auch für den Fall gelten, daß der Index \(\alpha\) nicht klein gegen das Argument \(x\), sondern mit \(x\) vergleichbar ist. Doch gelten die dort aufgestellten Reihen nur für reelle Werte von \(\alpha\) und von \(x\). Hier werden die Resultate auf komplexe Werte von \(\alpha\) und \(x\) erweitert, und zwar wird dabei wesentlich dieselbe Methode wie in der früheren Arbeit benutzt. Den Ausgangspunkt bildet hier wie dort die Darstellung der \textit{Hankel}schen Funktionen \(H^\alpha_1 (x),\;H^\alpha_2 (x)\) durch ein und dasselbe komplexe Integral mit verschiedenen Integrationswegen. Nachdem zunächst mittels der sogenannten Umlaufsrelationen (vgl. darüber das Handbuch von \textit{Nielsen}, Kap. 1, \S\,5) gezeigt ist, daß es ausreicht, nur solche Werte von \(\alpha\) und \(x\) zu betrachten, deren reeller Teil positiv ist, besteht die Hauptaufgabe darin, den Integrationsweg passend zu wählen. Die Wahl wird so getroffen, daß, wenn \(\tau\) die Integrationsvariable bezeichnet, der imaginäre Teil von \(f(\tau ) = i \left( \sin \tau - \frac{\alpha}{x} \tau \right)\) einen konstanten Wert hat. Je nach der Lage des durch die Gleichung \(f'(\tau_0) = 0\) definierten Punktes \(\tau_0\), der einen Sattelpunkt der über die \(\tau\)-Ebene ausgespannten Fläche des reellen Teiles von \(f (\tau )\) bildet, kommen drei verschiedene Integrationskurven in Betracht, deren charakteristische Eigentümlichkeiten eingehend erörtert werden. Den drei Kurven entsprechend, werden für drei verschiedene Gebiete verschiedene semikonvergente Reihen für \(H^\alpha_2 (x)\) gewonnen. Diese Gebiete sind durch zwei gewisse Übergangskurven voneinander getrennt, an denen die Darstellung von \(H^\alpha_2 (x)\) sprungweise in eine andere übergeht. Den Übergangskurven selbst kommt eine besondere Bedeutung zu; zu ihnen gehören Werte des Verhältnisses \(\frac{\alpha}{x}\), für die \(H^\alpha_2 (x)\) verschwindet. Die Lage der betreffenden Nullstellen von \(H^\alpha_2 (x)\) wird näherdiskutiert, und dann werden kurz auch die semikonvergenten Reihen für \(H^\alpha_1 (x)\) angegeben. Hinsichtlich der Einzelresultate muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden.