Untersuchungen über gleichflächige Polyeder. (Q1486706)

In dieser ausgedehnten und erfolgreichen Arbeit werden die gleichflächigen Polyeder mit direkt symmetrischen Kanten untersucht, und zwar diejenigen des kubischen Systems, d. i. diejenigen Polyeder, die die volle oder einen Teil der Symmetrie des Würfels besitzen. Die Grundlage bildet die Untersuchung derartiger Polyeder vom Geschlecht Null (``erster Art'') der ``Hexakisoktaeder''. Es werden drei Untergattungen dieser Form unterschieden und die verschiedenen Gestalten für jede Untergattung festgestellt. Eine Fläche des Hexakisoktaeders werde kurz als ``Zellform'' bezeichnet. Aus der Kombination von Grundformen, resp. Zellformen einer Untergattung zu je \(n\) entsteht je ein Polyeder vom Geschlecht \(n-1\) (von der ``\(n\)-ten'' Art). Es ist also leicht, die Anzahl aller Polyeder vom kubischen System festzustellen. Sollen sie im gewöhnlichen Sinne geschlossen sein, so sind sie höchstens vom Geschlecht 14. (\S\,1 und \S\,2.) Im \S\,3 werden die ``allophänen'' Typen aufgestellt, d. i. diejenigen Polyeder, deren Außenfläche verschieden ist. Der erste Schritt hierzu ist eine systematische Aufstellung aller Möglichkeiten der Verdeckung von Zellenformen durcheinander, der zweite eine einfache Methode, um aus den Polyedern mit \((m-1)\)-flächiger Außenfläche alle Polyeder mit \(m\)-flächiger Außenfläche zu finden. Es folgt dann die Angabe aller allophänen Typen. Im \S\,4 werden alle \textit{konvexen} Polyeder abgeleitet. Durch einfach geometrische Betrachtungen ergibt sich wieder eine Methode, um aus Polyedern \((m-1)\)-ter Art alle Polyeder \(m\)-ter Art mit der verlangten Eigenschaft zu finden. Im \S\,5 werden die \textit{konzentrischen Anordnungen} von Polyedern betrachtet oder, was dasselbe ist, die (unter den vorher aufgestellten mit enthaltenen) \textit{zerfallenden} Polyeder. Im \S\,6 werden die halbregulären (d. i. reguläreckigen) Polyeder allgemeiner Form betrachtet. Im \S\,7 werden die sechs verschiedenen Spezialisierungen des Hexakisoktaeders untersucht, die ihnen entsprechenden Polyeder höherer Art abgeleitet und sowohl die konvexen Typen, wie die konzentrischen Anordnungen, wie endlich auch die halbregulären Varietäten aufgestellt. Im \S\,8 werden die (meroedrischen) Teilpolyeder von konzentrischen Anordnungen in Bezug auf ihre Symmetrie untersucht. Spezialisiert man diese Formen, so kommt man zu den holoedrisch-merosymmetrischen Gestalten, die im letzten Paragraphen behandelt werden. In der ``kristallographischen Schlußbemerkung'' wird auf das Vorkommen einiger der behandelten nicht konvexen Typen bei Kristallen hingewiesen.