Orthogonal Projection. (Q1486923)

Unter Anlehnung an die \textit{Neuberg}sche Abhandlung ``Projections et contre-projections d'un triangle fixe'' wird 1. die Größe und Gestalt der orthogonalen Projektion \(AUV\) eines beliebigen Dreiecks \(ABC\) auf eine Ebene \(X\) ermittelt, die mit der Dreiecksebene den Winkel \(\Theta\) bildet und durch eine \textit{feste}, in der Dreiecksebene gelegene Achse \(AL\) geht. 2. Über der gemeinsamen Basis \(BC\) konstruiere man in der Ebene des Dreiecks \(ABC\) diejenigen Dreiecke, welche den orthogonalen Projektionen von \(ABC\) auf die durch \(AL\) gehenden Ebenen ähnlich sind. Der Ort der Spitzen \(S\) der Dreiecke \(SBC\) ist ein Kreis \((K)\), der durch die Punkte \(A, L\) und den zu \(A\) in bezug auf \(BC\) symmetrischen Punkt \(A'\) geht. 3. Eine Drehung der Achse \(AL\) um \(A\) hat eine Lagenänderung des Kreises zur Folge, alle Kreise gehen aber durch die beiden festen Punkte \(A, A'\) hindurch. 4. Mit Hülfe des Dreiecks \(SBC\) mit den Winkeln \(\lambda ,\mu ,\nu\) ist die Ebene desjenigen Dreiecks \(PQR\) bestimmt, das die vorgeschriebenen Winkel \(\lambda ,\mu ,\nu\) besitzt. 5. Zu dem Ausgangsdreieck \(ABC\) ähnliche und in seiner Ebene gelegene Dreiecke projiziert man auf eine Ebene, die die konstante Neigung \(\alpha\) gegen \(ABC\) hat. Der Ort der Spitzen der Dreiecke \(SBC\) ist ein Kreis \((C)\), dessen Durchmesser durch zwei Punkte \(H\) und \(H'\) auf der Geraden \(AA'\) bestimmt ist. 6. Zu jeder anderen Ebene \(H'\) gehören zwei andere Punkte \(H_1\) und \(H_1'\) und der Kreis \(C'\) über \(H_1 H_1'\) als Durchmesser. Die Kreise \(K\) (Nr. 3) und \(C\) schneiden sich orthogonal. 7. Alle in einer Ebene gelegenen \textit{gleichseitigen} Dreiecke \(ABC\) projizieren sich orthogonal in Dreiecke mit konstantem \textit{Brocard}schen Winkel (vgl. auch Ed. Times (2) 17, 89).