Isogonal conjugate conics. (Q1486963)

\(P\) und \(Q\) sind zwei isogonal konjugierte Punkte in bezug auf das Dreieck \(ABC\). Eine beliebige Gerade schneidet den Umkreis des Dreiecks in \(T_1\) und \(T_2\). \(T_3\) ist der auf ihm gelegene, zum unendlich fernen Punkt von \(T_1T_2\) isogonal konjugierte Punkt. Durchläuft \(P\) die Gerade \(T_1 T_2\), so beschreibt der Punkt \(Q\) einen dem Viereck \(ABCT_3\) umgeschriebenen Kegelschnitt, von dem die Achsen, die Asymptoten, der Mittelpunkt und der Ort des Mittelpunktes bei Parallelverschiebung von \(T_1T_2\) (Kegelschnitt) bestimmt werden. Ist \(T_1T_2\) ein Durchmesser des Umkreises, so wird der Kegelschnitt \(Q\) eine gleichseitige Hyperbel mit der Halbachse \(\sqrt{\frac{pqr}{R}}\), wo \(p, q, r\) die von \(A, B, C\) auf \(T_1T_2\) gefällten Lote und \(R\) den Radius des UUmkreises von \(ABC\) bezeichnen.