Die \textit{Frenet}schen Formeln im \(R_n\). (Q1487145)

(Siehe JFM 41.0680.01, JFM 41.0680.02) Die \textit{Frenet}schen Formeln für Raumkurven \(c\) - nebst einigen verwandten - werden dahin verallgemeinert, daß einmal an Stelle der Tangente \(t\) irgendeines Kurvenpunktes \(P\) eine beliebige Richtung \(g\) durch \(P\) tritt, andererseits der \(R_3\) durch den \(R_n\) ersetzt wird. Was die erstere Ausdehnung, innerhalb des \(R_3\), angeht, so diene als Parameter von \(c\) der Bogen \(s\), so daß \(P(s)\) und \(Q(s+ds)\) zwei benachbarte Kurvenpunkte sind. Durch \(P\) gehe gemäß irgendeiner gesetzmäßigen stetigen Zuordnung eine Gerade \(g\) mit den Richtungskosinus \(\alpha_g,\beta_g,\gamma_g\), und \(dv_g\) sei der zu \(g\) gehörige Kontingenzwinkel. Dann wird als,, (erste) Krümmung von \(c\) in \(P\) in bezug auf \(g\)'' der Grenzwert \(\frac{1}{r_g}=\frac{dv_g}{ds}\) verstanden. Bedeutet ein Akzent die Differentiation nach \(s\), so ergibt sich (Ia) \(\frac{1}{r_g}=\sqrt{\sum \alpha_g^{\prime 2}}\), wo das Radikal positiv genommen werde. Durch \(P\) lege man eine Parallele zu der zu \(g\) benachbarten Richtung, so bestimmen \(g\) und \(p\) die ``Schmiegungsebene'' \(\Sigma_p\). Weiter sei \(h_g\) die auf \(g\) senkrecht stehende Gerade durch \(P\) in \(\Sigma_g\), so gilt für die Richtungskosinus \(l_g,m_g,n_g\) von \(h_g\) die erste Reihe der ``\textit{Frenet}schen'' Formeln (II a) \(l_g=r_g\alpha_g^\prime\) usf. Es heiße \(h_g\) die ``Hauptnormale'', dann bilden \(g\) und \(h_g\) mit der ``Binormale'' \(b_g(\lambda_g,\mu_g,v_g)\) das ``\(g\) begleitende rechtwinklige Dreikant''. Als ``zweite Krümmung \(\frac{1}{\varrho_g}\) von c in \(P\)'' wird die Krümmung in bezug auf \(b_g\) erklärt: \((I{\mathfrak b})=\sqrt{\sum \lambda_g^{\prime 2}}\), und als ``totale Krümmung'' die Krümmung in bezug auf \(h_g: (I{\mathfrak c}) \frac{1}{{\mathfrak r}_g}=\sqrt{\sum l_g^{\prime 2}}\). Als zweite Reihe der \textit{Frenet}schen Formeln ergibt sich: \((II{\mathfrak b}) \lambda_g^\prime=\frac{-l_g}{\varrho_g}\), womit zugleich das Vorzeichen von \(\varrho_g\) festgelegt ist, während das Vorzeichen von \({\mathfrak r}_g\) wiederum positiv genommen werde. Die dritte Reihe der \textit{Frenet}schen Formeln wird: \((II{\mathfrak c}) l_g^\prime=\frac{-\alpha_g}{{\mathfrak r}_g}+\frac{\lambda_g}{\varrho}\). Zwischen den drei Krümmungen besteht die Relation (II') \(\frac{1}{{\mathfrak r}_g^2}=\frac{1}{r_g^2}+\frac{1}{\varrho_g^2}\), und unter \(\Delta_g\) die Determinante \(| \alpha_g\alpha_g^\prime\alpha_g^{\prime\prime}|\) verstanden, sind die beiden ersten Krümmungen an die Relation geknüpft; (II'') \(\Delta_g=\frac{1}{r_g^2\varrho_g}\). Fällt im besonderen die Richtung \(g\) in die positive Richtung der Tangente \(t\) (was formal dadurch zum Ausdruck kommt, daß der Index \(g\) überall unterdrückt wird), so kommt man auf bekannte Begriffe und Formeln zurück. Eine direkte Übertragung dieser Entwicklungen auf den \(R_{n+1}\) stößt auf Schwierigkeiten; es wird daher zunächst die Struktur der zu (II) im \(R_{n+1}\) analogen Formeln festgestellt, und erst hinterher werden die einzelnen Koeffizienten ermittelt. Zuvor wird geometrisch das eine Richtung \(g\) begleitende \((n+1)\)-Kant konstruiert; jede Kante desselben besitzt ihre Krümmung \(\frac{1}{r_i}\). Die Richtungskosinus der Kanten seien \((\alpha_0),(\alpha_1),(\alpha_2),\dots,(\alpha_n)\). Die erste Reihe \textit{Frenet}scher Formeln ergibt sich wie im \(R_3: (A_0) \alpha_0^\prime=\frac{\alpha_1}{r_0}\). Die \((i+1)\)-te Reihe \((A_i)\) hat die Struktur, daß die \(\alpha_i^\prime\) linear aus den \(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_{i+1}\) zusammengesetzt sind. Die Koeffizienten bestimmen sich dadurch, daß die Kanten des \((n+1)\)-Kants je aufeinander senkrecht stehen, sowie auf Grund der Krümmungsdefinitionen. So gelangt man zu den \textit{Frenet}schen Formeln des \(R_{n+1}\): \[ \begin{multlined} (A_0)\alpha_0^\prime=\frac{\alpha_1}{r_0}, (A_1)\alpha_1^\prime=-\frac{\alpha_0}{r_0}+\frac{\alpha_2}{\varrho_1},\dots, (A_i)\alpha_i^\prime=-\frac{\alpha_{i-1}}{\varrho_{i-1}}+\frac{\alpha_{i+1}}{\varrho_i},\dots,\\ (A_{n-1})\alpha_{n-1}^\prime=-\frac{\alpha_{n-2}}{\varrho_{n-2}}+\frac{\alpha_n}{\varrho_{n-1}}, (A_n) \alpha_n^\prime=-\frac{\alpha_{n-1}}{\varrho_{n-1}}.\end{multlined} \] Hier sind die \(\varrho_i\) einfache algebraische Funktionen der \(r_i\). Ferner werden die Analoga zu den Formeln (II) und (II'') aufgestellt. Vgl. auch \textit{Brunel} (F. d. M. 13, 586, 1881, JFM 13.0586.01). \textit{Hatzidakis} weist darauf hin, daß der obige Krümmungsbegriff (für den \(R_3\)) bereits von \textit{Zorawski} (F. d.M. 37, 622, 1906, JFM 37.0622.01) in einer polnischen Zeitschrift gegeben wird. Er selbst erwähnt eine von ihm in den Athener Annalen (F. d. M. 37, 626, 1906, JFM 37.0626.01, JFM 37.0626.02) mitgeteilte allgemeine Formel, in der die Richtungskosinus \(\varphi,\varphi_1,\varphi_2\) einer beliebigen Geraden \(g\) in bezug auf das Hauptdreikant der Kurve, die beiden ersten (gewöhnlichen) Krümmungen \(1/r, 1/\varrho\), der Bogen \(s\) sowie der Kontingenzwinkel von \(g\) auftreten. Für diese Formel wird hier ein einfacherer Beweis mitgeteilt, indem die Richtungskosinus \(\alpha_g,\beta_g,\gamma_g\) in bezug auf das feste Achsenkreuz linear durch die obigen \(\varphi,\varphi_1,\varphi_2\) ausgedrückt und diese Relationen nach \(s\) differenziert werden. \textit{Rath} leitet die allgemeinen \textit{Meyer}schen Formeln mit Hülfe der Vektorenrechnung ziemlich einfach ab. Der Beweis beruht auf den Vektorenrelationen, die die Orthogonalität des begleitenden \((n+1)\)-Kants wiedergeben, und auf deren Differentiation nach \(s\). Der Gedankengang stimmt inhaltlich mit dem \textit{Meyer}schen überein, nur daß die expliziten Richtungskosinus vermöge Einführung der Vektoren überflüssig werden.