Complementi alla teoria della base per la totalità delle curve di una superficie algebrica. (Q1487233)

In Ergänzung der früheren Untersuchungen des Verf. (C. R. 140, 361-363; Math. Ann. 62, 194-225; Ann. de l'Éc. Norm. (3) 25, 449-468) wird gezeigt, daß die ``Division'' einer Kurve durch eine ganze Zahl \(\lambda\) eindeutig ist, wenn \(\lambda\) relativ prim ist zu einer für die Fläche charakteristischen Zahl \(\sigma\). Sodann wird die Bestimmung der Kurven (von positivem gegebenen Grade) einer gegebenen Fläche auf das Problem zurückgeführt, eine ganze Zahl durch eine quadratische Form mit gegebenen ganzzahligen Koeffizienten darzustellen. Zu jeder ``Zwischenbasis'' gehört eine solche Form, alle sind aber (bezüglich linearer Substitutionen vom Modul \(\pm 1\)) äquivalent; man kann sie daher als ``Fundamentalform der Fläche'' bezeichnen. Als Anwendung der Theorie wird die diskontinuierliche unendliche Gruppe der birationalen Transformationen bestimmt, die eine Fläche vierter Ordnung invariant lassen, welche eine Kurve sechster Ordnung vom Geschlecht 2 enthält. Dies ist das erste Beispiel der Bestimmung einer vollständigen Gruppe birationaler Transformationen, die eine Fläche invariant lassen.