Superficie algebriche di genere zero e bigenere uno, e loro casi particolari. (Q1487236)

Die algebraische Fläche, die (wenn man die Bezeichnungen anwendet, welche in der modernen Theorie der algebraischen Flächen im Gebrauch sind) durch die Gleichungen \(p_g=p_a=0\), \(P_2=1\) charakterisiert sind und ferner eine bikanonische Kurve von der Ordnung \(0\) besitzen, wurden von \textit{F. Enriques} vollständig bestimmt (Sopra le superficie algebriche di bigenere uno; Mem. di Mat. e Fis. della Soc. It. delle Scienze (3) 14, 327-352, 1907). Dieser Geometer bewies, daß solche Flächen in Flächen sechster Ordnung des gewöhnlichen Raumes rational transformiert werden können, welche die Kanten eines Tetraeders zu Doppellinien haben. Sie können ferner mit den folgenden Gebilden in eindeutige Beziehung gesetzt werden: a) Doppelebene mit einer Verzweigungskurve achter Ordnung, bestehend aus einer Kurve sechster Ordnung, welche zwei Berührungsknoten und den Durchschnittspunkt der entsprechenden Tangenten als Doppelpunkt hat, und diese Tangenten; b) Fläche zehnter Ordnung des \(R_5\), deren Schnitte Kurven sechster Ordnung sind, und die man als Bild der Kongruenz (7, 3) ansehen kann, welche aus den Hauptstrahlen eines dreifach unendlich linearen Systems von Quadriflächen ohne Basispunkte gebildet wird. Der Verf. setzt diese Untersuchungen fort, indem er zuerst für die in Rede stehenden Flächen alle charakteristischen Zahlen bestimmt, sowie auch die Transformationen der Flächen in sich selbst. Endlich untersucht er eingehend die besonderen Fälle, welche sich darbieten, wenn das singuläre Tetraeder nicht alle seine Elemente verschieden hat. Zahlreiche und exakte Zitate ermöglichen die Bestimmung der Beziehungen der vorliegenden Arbeit zu älteren.