Saggio di geometria differenziale dei complessi di rette. (Q1487299)

Der Verf. hat in seiner 1908 erschienenen Abhandlung ``Nuova esposizione della geometria infinitesimale delle congruenze rettilinee'' (Annali di Mat. (3) 15) die Differentialgeometrie der Linienkongruenzen auf die Betrachtung zweier simultanen quadratischen Differentialformen gegründet, von denen die erste das Quadrat des Linienelements der Bildkugel, die zweite das Moment benachbarter Strahlen darstellt. Er dehnt jetzt diese Theorie auf die Systeme von \(\infty^3\) Geraden aus, die Komplexe, die durch \(x, y, z\) und \(X, Y, Z\) als Funktionen \textit{dreier} Parameter \(u, v, w\) definiert werden. Die vorliegende Abhandlung bringt zunächst die allgemeinen Grundlagen; von der Durchführung spezieller Beispiele wird noch abgesehen. Zur Darstellung des sphärischen Bildes, mithin auch für die erste quadratische Form reichen offenbar zwei Parameter \(u\) und \(v\) aus. Die zweite Grundform hat dann die folgende Gestalt: \[ Ddu^2+2D'dudv+D^{\prime\prime}dv^2+2Mdudw+2Ndvdw. \] Damit zwei derartige Formen, die erste also vom Krümmungsmaße 1, einen Komplex definieren, müssen ihre Koeffizienten, \textit{vier} Differentialrelationen erfüllen. Es sind dies die Integrabilitätsbedingungen für die durch die Richtungskosinus und ihre ersten Ableitungen ausgedrückten Differentiale von \(x, y, z\). Nach Aufstellung dieses ``Fundamentaltheorems'' wird die Beziehung eines Komplexstrahls zu seiner Umgebung eingehend untorsucht (\textit{Hamilton}sches Verteilungsgesetz). Die zweite quadratische Grundform geht, wenn \(w=w(u,v)\) gesetzt wird, unmittelbar in die zweite Grundform derjenigen Kongruenz über, die durch diese Annahme aus dem Komplex herausgehoben wird. Die singulären Strahlen des Komplexes sind durch \[ D''M^2-2D'MN+DN^2=0 \] definiert. Sie bilden im allgemeinen die Singularitätenfläche. Eine höhere Singularität ist der bisherigen, algebraisch-geometrischen Behandlung der Komplexe entgangen. Es sind das diejenigen Strahlen, für die \(M = N = 0\) ist. Der Verf. nennt sie ``bisingulär''. Auf einem solchen Strahl haben alle ihn enthaltenden Kongruenzen des Komplexes dieselben Brennpunkte. Je nachdem diese reell oder imaginär sind, ist der bisinguläre Strahl als ``hyperbolisch'' oder ``elliptisch'' zu bezeichnen.