Über einige unendliche Gruppen von Transformationen orientierter Ebenen im Euklidischen Raume. (Q1487332)

In Anschluß an eine Veröffentlichung von \textit{E. Study}, die keine Beweise enthält (F. d. M. 36, 735, 1905, JFM 36.0735.01), werden hier (analytische) Berührungstransformationen untersucht, welche die Ebenen des Euklidischen Raumes untereinander vertauschen. Es sei \(\varepsilon,\varepsilon^*\) ein Paar einander in einer solchen Transformationen zugeordneter Ebenen. Betrachtet man das Feld der Punkte aller Flächenelemente, deren Ebene mit \(\varepsilon\) zusammenfällt, und das Feld der Punkte aller durch die Berührungstransformation zugeordneten Elemente, deren Ebene \(\varepsilon^*\) ist, so erkennt man, daß für jede Stelle \(\varepsilon,\varepsilon^*\) regulären Verhaltens der Transformation diese Zuordnung der beiden ebenen Punktfelder \textit{kollinear} ist. Von allen diesen Kollineationen, die zu einer Ebenentransformation gehören, kann man nun verlangen, daß sie eine der folgenden Bedingungen erfüllen: (I) Sie sollen \textit{affine} und (II) \textit{flächentreue} Abbildungen sein. (III) Sie sollen \textit{ähnliche} und endlich (IV) \textit{kongruente} Transformationen sein. Jede dieser Forderungen ergibt eine unendliche Gruppe von Transformationen, Transformationen also, die noch von willkürlichen Funktionen abhängen. Die Transformationsformeln werden unter Benutzung sogenannter \textit{Bonnet}scher Koordinaten hergeleitet. Besonders bemerkenswert sind die Abbildungen der Gruppe (IV), die man die \textit{äquilongen Transformationen} des Raumes nennt. Sie bilden ein duales Analogon zu den konformen Abbildungen. Für diese Gruppe hat schon früher \textit{J. L. Coolidge} Transformationsformeln angegeben (F. d. M. 39, 727, 1908, JFM 39.0727.01), die jedoch weniger einfach sind, als die hier abgeleiteten. Die äquilonge Gruppe umfaßt die endliche (10-gliedrige) algebraische Gruppe der \textit{Laguerre}schen Transformationen des Raumes, welche die (orientierten) Kugeln unter einander vertauschen. Diese Gruppe, für die sehr einfache Transformationsformeln mitgeteilt werden, ist identisch mit der \textit{Lorentz}gruppe der \textit{Minkowski}schen Welt. Zum Schluß wird noch (V) die unendliche Gruppe der Ebenen-Transformationen aufgestellt, die parallelen Flächen wieder solche zuordnen und den Abstand jder Flächen dabei ungeändert lassen. In den Gruppen (II), (IV), (V) ist eine unendliche Schar von Transformationen enthalten, die \textit{Study} äquilonge Spiegelungen genannt hat, da sie zu der von \textit{H. A. Schwarz} eingeführten konformen Spiegelung an einer ebenen analytischen Kurve analog sind.