Analytischer Beweis des Satzes von Herrn \textit{Reinh. Müller} über die Erzeugung der Koppelkurve durch ein ähnlich-veränderliches System. (Q1487401)

(Siehe JFM 41.0775.02, JFM 41.0775.03) ``Die Bewegung eines ähnlich veränderlichen Systems in seiner Ebene ist bekanntlich bestimmt durch die Bahnkurven \(\mu_1,\mu_2,\mu_3\) dreier Punkte \(M_1,M_2,M_3\). Wir setzen voraus, diese Bahnen seien drei Kreise mit den Mittelpunkten \(M_1,M_2,M_3\), und fragen nach der Bahnkurve \(\mu\), die irgendein vierter Punkt \(M\) des bewegten Systems beschreibt.'' Die analytische Behandlung der Aufgabe lehrt dann folgende Eigenschaften der Kurve \(\mu\): 1. Sie ist von der sechsten Ordnung. 2. Sie hat die imaginären Kreispunkte zu dreifachen Punkten. 3. Sie besitzt außerdem drei Doppelpunkte. 4. Diese Doppelpunkte liegen mit den drei Fokalzentren der Kurve auf einem Kreise. Hieraus folgt, daß \(\mu\) eine Koppelkurve ist. ``Bewegen sich drei Punkte eines ebenen ähnlich-veränderlichen Systems auf Kreisen, so beschreibt jeder vierte Punkt eine Koppelkurve.'' \textit{Skutsch} gibt eine ``elementargeometrische Herleitung dieses merkwürdigen Ergebnisses; sie verdankt ihre verhältnismäßige Einfachheit in erster Linie der Beschränkung auf reelle Elemente, bietet aber auch in ihrer Anschaulichkeit manche Anregung''. Außerdem wird die \textit{Müller}sch Figur mit einer \textit{Cayley}schen in Zusammenhang gebracht (Lond. M. S. Proc. 7, 136-166; F. d. M. 8, 552, 1876, JFM 08.0552.01), so daß der Übergang von der einen zur anderen klargelegt wird. \textit{Mehmke} beweist den \textit{Müller}schen Satz bei Beschränkung auf die allereinfachsten Hülfsmittel der Vektorenrechnung (Addition, Multiplikation mit \(\varrho e^{i\varphi}\)).