The straight line solutions of the problem of \(N\) bodies. (Q1487452)

\textit{Lagrange} hat in einer bekannten Abhandlung (Oeuvres 6, 229-324 ) bewiesen, daß es für drei endliche Massen, welche sich nach dem \textit{Newton}schen Gesetze anziehen, vier verschiedene Konfigurationen gibt, bei denen die Verhältnisse der gegenseitigen Abstände konstant bleiben. In allen diesen Konfigurationen beschreiben die Körper ähnliche Kegelschnitte inbezug auf das Massenzentrum des Systems; der einfachste Fall ist der, bei welchem die Bahnen kreisförmig sind. Bei dreien der vier Lösungen liegen die Massen immer in einer Geraden, bei der vierten in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks. In der vorliegenden Arbeit werden zwei eng zusammenhängende Probleme behandelt. 1. Die Anzahl der geradlinigen Lösungen für \(n\) beliebige positive Massen wird gefunden, d. h. die Verhältnisse der Abstände werden so bestimmt, daß unter geeigneten anfänglichen Geschwindigkeiten die Körper immer kollinear bleiben. Dies ist die direkte Verallgemeinerung des \textit{Lagrange}schen geradlinigen Problems für das Problem von \(n\) Körpern. Die \textit{Lagrange}sche Methode eignet sich nicht für die Behandlung des allgemeinen Falles. Das Problem wird so gefaßt, daß seine Lösung sich durch die Aufsuchung reeller Lösungen von \(n\) simultanen gebrochenen algebraischen Gleichungen ergibt. Vom mathematischen Standpunkte aus mündet das Interesse dieses Teils der Abhandlung in das algebraische Problem, die Anzahl reeller Lösungen eines gräßlich aussehenden Systems simultaner Gleichungen zu bestimmen. 2. Das zweite Problem ist dieses: \(n\) Massen womöglich so zu bestimmen. daß sie, nachdem man sie in \(n\) beliebige kollineare Punkte gesetzt hat, unter geeigneten Geschwindigkeiten immer in einer Geraden bleiben. Wenn \(n\) gerade ist und die linearen Abmessungen der Bahnen gegeben sind, so zeigt sich, daß die \(n\) Massen im allgemeinen auf eine einzige Art bestimmt sind. Wenn dagegen \(n\) ungerade ist, so müssen die Koordinaten der \(n\) Punkte eine algebraische Relation befriedigen. Wenn das geschieht, so kann man eine der Massen willkürlich wählen; die übrigen \(n-1\) sind alsdann auf eine einzige Art bestimmt. Dieses Problem ist gewissermaßen die Umkehrung des vorigen.