Sur les mouvements stationnaires d'un liquide doué de frottement. (Q1487513)

Es sei \(\tau\) das Volumen einer mit Reibung behafteten Flüssigkeit. Man nehme an, ihre (geschlossene) Oberfläche \(\sigma\) besitze in jedem ihrer Punkte eine einzige Tangentialebene und zwei wohlbestimmte Krümmungsradien; ferner mögen die auf die Flüssigkeitsteilchen einwirkenden Kräfte ein Potential besitzen. Dann besteht die Aufgabe, die stationären Geschwindigkeiten \(u,v,w\) der Flüssigkeit bei gegebenen Werten \(\overline{u},\overline{v},\overline{w}\) an der Oberfläche zu finden, in der Lösung des Problems: \[ (1)\quad \left\{\begin{aligned} & \Delta{\mathfrak u}=0,\dots;\;\theta=0\;\text{innerhalb}\;\tau;\\ & u=u,\dots\qquad \text{an der Oberlfäche},\end{aligned}\right. \] wo zur Abkürzung gesetzt ist: \[ (2)\quad {\mathfrak u}=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\,,\dots;\;\theta=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\,. \] Dieses Problem ist vom Verf. ganz allgemein gelöst in Palermo Rend. 25, 253-271 (F. d. M. 39, 797, 1908, JFM 39.0797.01). Von. dieser Lösung werden jetzt einige damals gemachte Voraussetzungen als unnötig nachgewiesen. Es ergibt sich, daß man das Problem (1) immer unter der einzigen Bedingung lösen kann, daß \(\overline{u},\overline{v},\overline{w}\) auf \(\sigma\) stetig (oder bloß nach Intervallen stetig) sind.