Sur un problème mixte relatif à l'équation de \textit{Laplace}. (Q1487604)

Es sei \((D)\) ein zusammenhängendes räumliches Gebiet, dessen Begrenzung \(\Sigma\) folgende Eigenschaften hat. \(\Sigma\) hat überall eine bestimmte, stetige Tangentialebene. Ist \(\Delta\) die Entfernung zweier beliebigen Punkte von \(\Sigma\) und \(\vartheta\) der von den zugehörigen Innennormalen eingeschlossene Winkel, so ist \(\vartheta>c\Delta\), worin \(c\) eine gewisse Konstante bezeichnet. Es sei \((S)\) ein von einer endlichen Anzahl zusammenhängender Teilstücke von \(\Sigma\) gebildetes Gebiet, \((S')\) der Rest von \(\Sigma\). Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der folgenden Randwertaufgabe. Es ist diejenige beschränkte, in \((D)\) reguläre Potentialfunktion zu bestimmen, die auf \((S)\) eine vorgeschriebene stetige Folge von Werten annimmt, und deren Normalableitung auf \((S')\) vorgegebene stetige Werte erhält. Es wird zunächst die folgende Aufgabe aufgelöst: Es ist das \textit{Newton}sche Potential \(v\) einer auf \((S)+(S')\) ausgebreiteten einfachen Flächenbelegung zu bestimmen, deren Dichte auf \((S')\) vorgegeben ist, wenn man weiß, daß auf \((S)\) überall \(v=0\) ist. Dieses Problem wird mit Hülfe eines dem alternierenden Verfahren von \textit{H. A. Schwarz} nachgebildeten Verfahrens erledigt. Durch diese Betrachtungen ergibt sich zugleich die Lösung des folgenden Problems. Es ist eine in dem ganzen Raume, außer auf \((S)\), reguläre Potentialfunktion zu bestimmen, die auf den beiden Seiten von \((S)\) eine vorgeschriebene stetige Folge von Werten annimmt. Es sei \(A\) irgendein Punkt außerhalb \((S)\). Es wird jetzt einer \textit{Green}sche Funktion \(G(A,B)\) eingeführt, die folgende Eigenschaften hat. \(G(A,B)\) ist diejenige für alle \(B\) außerhalb \((S)\), außer für \(A=B\), reguläre Potentialfunktion, die auf \((S)\) verschwindet und in der Umgebung von \(A\) sich wie \(\frac{1}{\overline{AB}}\) verhält. Unter Zuhülfenahme dieser \textit{Green}schen Funktion wird das vorgelegte Problem auf die Auflösung einer der \textit{Fredholm}schen Theorie zugänglichen Integralgleichung zurückgeführt. Hierbei wird über die Werte \(h\), welche die gesuchte Lösung auf \((S)\) annimmt, folgendes vorausgesetzt: Es gibt eine in \((D)\) reguläre Potentialfunktion, die auf \((S)\) gleich \(h\) ist, und deren Normalableitung auf \((S')\) stetig ist. Diese Bedingung ist z. B. erfüllt, wenn \(h\) den Wert bezeichnet, den eine Funktion auf \((S)\) annimmt, die durchweg stetig ist und in einem Gebiete, das \((S')\) ganz in seinem Innern enthält, stetige Ableitungen erster und zweiter Ordnung hat.