Zur Theorie des logarithmischen Potentials. Aufsatz II. (Q1487610)

Über Aufsatz I ist F. d. M. 40, 839, 1909, JFM 40.0839.03 berichtet. In Aufsatz II werden zunächst gewisse bei geschlossenen Kurven auftretende Begriffe auf \textit{ungeschlossene} Kurven übertragen, und zwar die der natürlichen, der induzierten und der \textit{Green}schen Belegung. Wird eine Kurve mit der Masse \(M=1\) des fingierten Fluidums, das in der Theorie des logarithmischen Potentials dieselbe Rolle spielt wie die elektrischen Fluida beim \textit{Newton}schen Potential, geladen, so heißt die Verteilung jener Masse, ohne Einwirkung äußerer Kräfte, die natürliche Belegung. Wirkt dagegen (bei Festhaltung der Gesamtmasse 1 der Kurve) von außen ein Massenpunkt \(p\) mit der Masse \(-1\), so heißt die Verteilung die dem Punkte \(p\) entsprechende induzierte Belegung. Wird endlich die Kurve mit einer solchen Masse \(M\) geladen, daß das Gesamtpotential von \(M\) und der in \(p\) konzentrierten Masse \(-1\) an der Kurve den Wert Null hat, so heißt die Verteilung die dem Punkte \(p\) entsprechende \textit{Green}sche Belegung. Sodann werden, unter Anwendung elliptischer Koordinaten, die Dichtigkeiten der beiden erstgenannten Belegungen auf einer Ellipse und auf einer begrenzten geraden Linie \(AB\) bestimmt, auf letzterer, indem \(AB\) als Grenzfall einer Ellipse, d. h. als Brennlinie eines Systems konfokaler Ellipsen betrachtet wird. Hier ergeben sich folgende Resultate: Ist \(\sigma\) irgend ein Punkt von \(AB\), so hat die Dichtigkeit \(\gamma_\sigma\) der natürlichen Belegung in \(\sigma\) den Wert: \[ \gamma_\sigma=\frac{1}{\pi\sqrt{(A\sigma)(B\sigma)}}\,, \] während für die Dichtigkeit \(y_\sigma^{(p)}\) der dem Punkte \(p\) entsprechenden induzierten Belegung die Formel gilt: \[ y_\sigma^{(p)}=\frac{\sqrt{(Ap)(Bp)}\cos u}{\pi\sqrt{(A\sigma)(B\sigma)}(p\sigma)^2}\cdot\frac{(Ap)(B\sigma)+(A\sigma)(Bp)}{(AB)}\,; \] darin ist \(2u\) gleich dem Winkel \(ApB\). Weiter werden die entsprechenden Aufgaben für einen Kreisbogen gelöst, und zwar mittels folgender Betrachtungen. Man führe statt der rechtwinkligen Koordinaten dipolare Koordinaten \(u,v\) mit den Punkten \(A\) und \(B\) als Polen ein durch die Substitution \[ x+iy=k\text{cotg}(u+iv), \] worin \(AB=2k\) ist. Auf diese Variablen transformiert, nimmt das aus dem bekannte Potential der natürlichen Belegung der Linie \(AB\) den Wert an: \[ \Pi_p=\log 4-F^{(\pi)}=\log 4-\log (4k^2)+F^{(0)}, \] wo \[ F^{(a)}=\log\;\frac{2k\cdot 2[\cos(iv)-\cos(u-\alpha)]}{\sqrt{2(\cos 2iv-\cos 2u)}} \] ist. Für einen beliebigen, durch \(A\) und \(B\) gehenden Kreisbogen, auf dem \(u\) den konstanten Wert \(\kappa\) hat, wird nun der Ansatz gemacht: \[ \Pi=A_0+A(F^{(\pi)}+F^{(2\kappa)}, \] und es wird gezeigt, daß es möglich ist, die Konstanten \(A_0\), \(A\) so zu bestimmen, daß \(\Pi\) das Potential der natürlichen Belegung jenes Kreisbogens wird. Für die Dichtigkeit \(\gamma\) der natürlichen Belegung an jeder Stelle \(s\) des Kreisbogens \(A\mu B\) folgt daraus: \[ \gamma=\frac{1}{2\pi(A\mu)}\cdot\frac{(As)+(Bs)}{\sqrt{(As)(Bs)}}\,, \] wo \((As), (Bs)\) die Längen der Sehnen \(As, Bs\) sind, \((A\mu)\) der Abstand des Punktes \(A\) von der Mitte \(\mu\) des Bogens. Zur Ermittelung der induzierten Belegung eines Kreisbogens wird die Methode der reziproken Radien benutzt. Aus dieser ergibt sich eine einfache Beziehung einerseits zwischen dem Potential der natürlichen Belegung einer beliebigen Kurve und dem Potential der dem Inversionszentrum entsprechenden induzierten Belegung der reziproken Kurve, andererseits auch zwischen jenen Belegungen selbst. Sind \(s\) und \(s'\) entsprechende Punkte zweier reziproken Kurven für \(O\)0 als Inversionszentrum, haben ferner \(\gamma\) und \(y\) dieselbe Bedeutung wie oben, und werden zugleich alle auf \(s'\) bezüglichen Größen mit einem Strich bezeichnet, so ist \[ (Os)\cdot \gamma_s=(Os')y_{s'}^{\prime(0)}. \] Zwischen \(y_s^{(p)}\) und \(y_{s'}^{\prime(p')}\) besteht, falls \(p\) und \(p'\) zwei beliebige inverse Punkte sind, die Beziehung \[ (Os)y_s^{(p)}=(Os')y_{s'}^{\prime(p')}. \] Bei passender Wahl des Inversionskreises geht nun ein beliebiger Bogen \(A\mu B\) in die Gerade \(AB\)B über, und da man für diese die Dichtigkeit der induzierten Belegung kennt, so folgt die für den Kreisbogen \(A\mu B\). Für diese wird \[ y_s^{(p)}=\frac{\sin(\kappa-u_p)}{\kappa}\;\frac{\sqrt{(Ap)(Bp)}}{\sqrt{(As)(Bs)}}\;\frac{(Ap)(Bs)+(As)(Bp)}{(AB)(ps)^2}\,. \] Hierin ist \(2u_p=\) dem Winkel \(ApB\), \(2\kappa\) der zu dem Bogen \(A\mu B\) gehörige Peripheriewinkel. Leicht angebbar ist auch die \textit{Green}sche Belegung des Bogens. Neben diesen speziellen Resultaten werden mehrere allgemeine Sätze aus der Theorie des logarithmischen Potentials entwickelt, auf die sich der Nachweis stützt, daß der oben angegebene Ansatz wirklich zum Potential der natürlichen Belegung eines Kreisbogens führt. Von diesen allgemeinen Sätzen, die teilweise den \textit{Dirichlet}schen charakteristischen Bedingungen des \textit{Newton}schen Potentials entsprechen, sei hier der folgende (Satz 6) erwähnt. Von einer Funktion \(\Phi(u,v)\) sei vorausgesetzt, 1. daß sie in einem Gebiete \(\mathfrak A\) außerhalb einer geschlossenen Kurve \(s\) die sogenannten Haupteigenschaften besitzt (Endlichkeit und Stetigkeit von \(\Phi\) und seinen ersten Ableitungen, Gültigkeit der \textit{Laplace}schen Gleichung), 2. daß, sobald der Punkt \(x,y\) ins Unendliche geht, \(\Phi\) gegen \(\log\;\frac{1}{E}\) konvergiert, 3. daß \(\Phi\) längs \(s\) konstant ist, so ist \(\Phi\) das Potential der natürlichen Belegung von \(s\). Man kann diesen Satz auch auf nicht geschlossene Kurven anwenden, indem man diese durch geschlossene, ihr unendlich nahe kommende Kurven umhüllt.