Zur Theorie des logarithmischen Potentials. Aufsatz III. (Q1487611)

Es wird gezeigt, daß die Bestimmung der \textit{Green}schen und der induzierten Belegung einer beliebigen Kurve stets auf die der natürlichen Belegung (über die Definition dieser Belegungen vgl. das vorangehende Referat) reduzierbar ist. Das Hauptresultat ist folgendes: Für eine geschlossene Kurve \(\sigma\) sei die Dichtigkeit \(\gamma_s\) der natürlichen Belegung bekannt, ebenso ihr Potential \(\Pi\) für Punkte im Außengebiet von \(\sigma\). Führt man als Koordinaten ein \(\lambda=-\Pi\) und die zu \(\lambda\) konjugierte Funktion \(\vartheta\), so ist für irgendeinen Punkt \((\lambda_\sigma,\vartheta_\sigma)\) der Kurve die Dichtigkeit der dem Punkte \((\lambda_p,\vartheta_p)\) entsprechenden induzierten Belegung: \[ (\text{D})\quad y_\sigma^{(p)}=\gamma_\sigma\left[1+2\sum_{n=1}^\infty e^{n(\lambda_\sigma-\lambda_p)}\cos n(\vartheta_\sigma-\vartheta_p)\right]; \] und ganz ähnlich ist der Ausdruck für die Dichtigkeit der \textit{Green}schen Belegung. Für ungeschlossene Kurven tritt an Stelle der Formel (D) die folgende. Schreibt man (D) abgekürzt \[ (\text{D})\quad y^{(p)}=\gamma\cdot f, \] so ist für die ungeschlossene Kurve \[ (\text{G})\quad [y^{(p)}=[\gamma]\;\frac{\gamma_1f_1+\gamma_2f_2}{f_1+f+2}\, . \] Dabei beziehen, sich die eingeklammerten Größen auf die ungeschlossene Kurve, die nicht eingeklammerten auf die jene umhüllende geschlossene Kurve, und die Indizes 1, 2 beziehen sich auf zwei einander genau gegenüberliegende Elemente der letzteren.