Zur Theorie des logarithmischen Potentials. Aufsatz IV. (Q1487612)

Die im Aufsatz II (s. S. 858) für gerade Linien und Kreisbogen gelösten Aufgaben werden hier auf ein von zwei Kreisbogen begrenztes Zweieck ausgedehnt. Um in diesem Falle die Belegungen zu ermitteln, gehe man zunächst von dipolaren Koordinaten \(u,v\) mit \(A\) und \(B\) als Polen aus. Irgendein durch \(A\) und \(B\) gehender Kreis \(AsBtA\) wird durch \(A\) und \(B\) in zwei Bogen \(AsB\) und \(AtB\) geteilt. Hat \(2u\) auf dem einen dieser Bogen den Wert \(\kappa\), so ist für den anderen (bei passender Zählung der Winkel) \(2u=\kappa-\pi\). Führt man weiter statt \(u,v\) neue Variablen ein durch die Substitution \[ u=Nu',\;v=Nv', \] wo \(N\) eine beliebig gegebene positive Zahl ist, so geht die Peripherie des vorher erwähnten Kreises in ein aus zwei Bogen \(As' B\) und \(At'B\) zusammengesetztes Zweieck, der Außenraum \(\mathfrak A\) jenes Kreises in den Außenraum \(\mathfrak A'\) des Zweiecks über. Ist ferner \(\Phi(u,v)\) eine ``Fundamentalfunktion'' von \(\mathfrak A\) (d. h. eine Potentialfunktion von \(\mathfrak A\), vermehrt um eine Konstante), so ist auch \(\Phi(Nu',Nv')\) eine Fundamentalfunktion des Gebiets \(\mathfrak A'\). Ferner existiert stets eine, und nur eine einzige Fundamentalfunktion des Gebietes \(\mathfrak A\), welche am Rande von \(\mathfrak A\) vorgeschriebene Werte \(f_\sigma\) besitzt, und zwar wird diese Fundamentalfunktion \(F\) in jedem Punkte von \(\mathfrak A\) dargestellt durch die Formel \[ F_p=\int f_\sigma y_\sigma^{(p)}d\sigma, \] wo \(y_\sigma^{(p)}\) die Dichtigkeit der dem Punkte \(p\) entsprechenden induzierten Belegung ist. Mittels dieser allgemeinen Sätze und der obigen Transformation von \(u, v\) in \(u', v'\) gelingt es, für das von zwei Kreisbogen begrenzte Zweieck die natürliche Belegung und die einem beliebigen Punkte \(p'\) des Außenraums \(\mathfrak A'\)' entsprechende induzierte Belegung zu ermitteln und weiter auch die \(p'\) entsprechende \textit{Green}sche Belegung. Der Fall, wo \(p'\) im Innenraum \(\mathfrak J'\) des Zweiecks liegt, läßt sich in analoger Weise erledigen. Aus den angestellten Untersuchungen entspringt folgende Integraldarstellung willkürlich gegebener Funktionen. Es sei \(\lambda\) eine reelle Variable, \(\varphi(\lambda)\) eine reelle Funktion, die in dem Intervall \(\lambda_1\dots\lambda_2\) stetig ist, \(\lambda_s\) ein in diesem Intervall gelegener Wert von \(\lambda\), so ist \[ \varphi(\lambda_\sigma)=\lim_{\delta=0}\;\frac{\sin\delta}{2\pi}\;\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}\;\frac{\varphi(\lambda)d\lambda}{\cos i(\lambda-\lambda_0)-\cos\delta} \] \((i=\sqrt{-1})\), und zwar geht \(\delta\) von positiven Werten zu Null über.