Zur Theorie des logarithmischen Potentials. Aufsatz V (Erweiterung der \textit{Dürll}schen Methode). (Q1487613)

Die Aufgaben, die im Aufsatz IV für das von zwei Kreisbogen begrenzte Zweieck erledigt sind, werden, hier folgendermaßen erweitert. Bei dipolaren Koordinaten \(u, v\) sind die Kreise \(v=\text{Const.}\) die Niveaukurven der in den Polen \(A,B\) konzentrierten Massen \(-\frac12,+\frac12\) und \(u=\text{Const.}\) ihre senkrechten Trajektorien. Ein allgemeineres Zweieck erhält man nun, wenn man für \(v\) das Potential beliebiger Massen \(m_1,m_2,\dots,m_n\) nimmt und die Massen \(m_1,m_2\) von entgegengesetzten Zeichen und so wählt, daß zwei von den senkrechten Trajektorien der Niveaukurven \(v=\text{Const.}\) durch \(m_1\) und \(m_2\) gehen. Die Betrachtung bezieht sich auf den Innenraum \(\mathfrak J\) des von jenen Trajektorien begrenzten Zweiecks, während zugleich angenommen wird, daß die Massen \(m_3,\dots,m_n\) außerhalb des Zweiecks liegen. Ist \(u+iv=f(x+iy)\), so sind \(u=\text{Const.}\) die senkrechten Trajektorien der Niveauknrven, und die Grenzen des Zweiecks werden \(u=C\) und \(u=D\). Für die \textit{Green}sche Funktion von \(F\) wird der Ansatz gemacht: \[ G_p^{(q)}=\frac{1}{\pi}\;\int_0^\infty dn[({\mathfrak A}e^{nu_p}+{\mathfrak B}e^{-nu_p})\cos (nv_p)+({\mathfrak C}e^{nu_p}+{\mathfrak D}e^{-nu_p})\sin(nv_p)], \] wo \(u_p, v_p\) die dem Aufpunkte \(p\) zugehörigen Werte der Variabeln \(u, v\) sind, \(q\) der Pol der \textit{Green}schen Funktion, und es werden die Koeffizienten \(\mathfrak {A,B,C,D}\), die noch unbekannte Funktionen des Integrationsarguments \(n\) sind, so bestimmt, daß das vorstehende Integral wirklich die \textit{Green}sche Funktion darstellt. Andererseits kann man die \textit{Green}sche Funktion ausdrücken durch ein über die Grenzkurven von \(\mathfrak J\) erstrecktes Integral, in dem die \textit{Green}sche Belegung des Randes als Faktor auftritt. Die Vergleichung beider Ausdrücke von \(G_p^{(q)}\) ergibt dann unmittelbar eine Formel für die \textit{Green}sche Belegung des Zweieckrandes; und zwar wird die Dichtigkeit mittels eines nach \(n\) zwischen den Grenzen 0 und \(\infty\) erstreckten Integrals dargestellt. Ferner ist hier die \textit{Green}sche Belegung von der induzierten nicht verschieden.