Sur les valeurs de la fonction de \textit{Green} dans le voisinage du contour. (Q1487614)

Es wird das Verhalten der \textit{Green}schen Funktion \(g_B^A\) eines ebenen Bereichs für den Fall untersucht, daß die Punkte \(A, B\) sich der Randkurve \(C\) des Bereichs beliebig nähern. Ist \(H\) der dem Punkte \(A\) nächste Punkt von \(C,A'\) der zu \(A\) in bezug auf \(H\) symmetrisch liegende Punkt, ist ferner \(BA=r\), \(BA'=r'\), so lassen sich für die Differenz \[ \log\;\frac{r'}{r}-g_B^A, \] diese Differenz als Funktion von \(B\) betrachtet, zwei Grenzwerte ermitteln, die, wenn \(AH=0\) wird, beide zu Null werden. Man braucht daher, um das Verhalten von \(g_B^A\) in der Nähe von \(C\) zu ermitteln, nur den Ausdruck \(\frac{\delta}{r}\) zu untersuchen, falls \(\delta\) den kleineren der Abstände der Punkte \(A\) und \(B\) von der Randkurve \(C\) bezeichnet. Weitere Betrachtungen betreffen die Ableitungen beliebig hoher Ordnung von \(g_B^A\) nach den Koordinaten von \(A\) und \(B\). Das Verhalten dieser Ableitungen läßt sich auf das der entsprechenden Ableitungen der \textit{Green}schen Funktion eines Kreises zurückführen.