Questions de physique mathématique comportant des conditions différentes sur diverses parties d'une même frontière. (Q1487617)

(Siehe JFM 41.0863.03) In dem ersten der obigen Aufsätze handelt es sich um die Zurückführung der Randwertaufgaben mit \textit{gemischten} Bedingungen auf die einfachen Randwertaufgaben. Der Verf. teilt ohne Beweis das folgende recht allgemeine Resultat mit. In dem Gebiet \(u, v\), dessen Grenze durch \(v=0\), \(a\leq u\leq b\) definiert ist, seien die Lösungen der folgenden Aufgaben bekannt: eine Funktion \(\varphi(u,v)\) zu finden, die in dem Gebiet gewisse allgemeine Eigenschaften besitzt und a) an der Grenze gleich einer gegebenen Funktion \(f(u)\) ist, b) deren Ableitung nach \(u\) an der Grenze gleich \(g(u)\) ist. Dann soll eine Funktion bestimmt werden, die dieselben allgemeinen Eigenschaften besitzt, und die c) an einem Teile \(D_1\) der Grenze \(=f(u)\) wird, während an dem übrigen Teil \(D_2\) der Grenze die Ableitung der gesuchten Funktion nach \(u\) gegebene Werte \(g(u)\) annimmt. Ist die Lösung der Aufgabe a) \[ \varphi(u,v)=\sum a_k\varphi_k(u,v), \] wo die Funktionen \(\varphi_1,\varphi_2,\dots\) durch die allgemeinen Eigenschaften des Gebiets und die Form der Grenze bestimmt sind, und ist \[ \psi_n(u,v)=\frac{\partial}{\partial v}(\varphi_n(u,v)), \] so bilde man die Funktionen \[ \begin{aligned} \Phi_k(u,v)&=c_k^\prime\Phi_1(u,v)+\cdots+c_k^{(k-1)}\Phi_{k-1}(u,v)+\varphi_k(u,v),\\ \Psi_k(u,v)&=c_k^\prime\Psi_1(u,v)+\cdots+c_k^{(k-1)}\Psi_{k-1}(u,v)+\Psi_k(u,v),\end{aligned} \] wo \[ c_k^{(i)}=-\frac{\int_{D_1}\varphi_k\Phi_idu+\int_{D_2}\psi_k\Psi_idu}{\int_{D_1}\Phi_i^2du+\int_{D_2}\Psi_i^2du}\;(v<0, i<k) \] ist. Für diese Funktionen mit der Integralsatz \[ \int_{D_1}\Phi_i\Phi_jdu+\int_{D_2} \Psi_i\Psi_jdu=0\;(v=0, i\neq j); \] und mit ihrer Hülfe läßt sich die Aufgabe c) in analoger Weise lösen wie die Aufgabe a) mittels der Funktionen \(\varphi_k\). In dem zweiten Aufsatz wird, ebenfalls ohne Beweis, angegeben, wie man die vorstehenden Resultate auf den Fall ausdehnen kann, wo es sich um die Bestimmung mehrerer Funktionen handelt, die in dem betrachteten Gebiet linearen partiellen Differentialgleichungen genügen. Die Zahl der zu suchenden Funktionen muß um 1 kleiner sein als die der unabhängigen Variabeln. Speziell werden drei zu suchende Funktionen und vier unabhängige Variabeln ins Auge gefaßt.