Die \textit{Green}sche Funktion der Schwingungsgleichung für ein beliebiges Gebiet. (Q1487625)

Vorgelegt sei ein beliebiges räumliches Gebiet \(S\) mit der Oberfläche \(\sigma\), das als endlich und einfach zusammenhängend vorausgesetzt wird. In ihm soll die Schwingungsgleichung (1) \(\Delta u+k^2u=0\) so integriert werden, daß die Oberflächenbedingung \(u=0\) auf \(\sigma\) erfüllt ist. Die Konstante \(k\) ist proportional der Frequenz der Schwingungen. Entsprechend der Theorie der freien Schwingungen, wie sie unter anderem von \textit{Pockels} behandelt ist, hat der Verf. in einer Vorlesung über die partiellen Differentialgleichungen auch die Theorie der erzwungenen Schwingungen in gleicher Allgemeinheit behandelt. Es genügt dabei, als einfachste Art der Anregung eine im Innern von \(S\) gelegene Einheitsquelle anzunehmen. \(O\) sei der Quellpunkt, \(P\) der Aufpunkt, in dem der Schwingungszustand zu berechnen ist. Die entstehende Verteilung der Schwingungsamplituden werde als \textit{Green}sche Funktion mit \(G_{OP}\) bezeichnet. Die Schwingungsfrequenz und der zugehörige Wert von \(k\) sei beliebig gegeben, doch so, daß er mit keinem der Eigenwerte \(k_m\) übereinstimmt. Auf die \textit{Green}sche Funktion (punktförmige Anregung) läßt sich jede andere Art der Anregung (räumliche oder flächenhafte Verteilung von Quellpunkten) zurückführen. Es zeigt sich nun, daß die Theorie der erzwungenen Schwingungen keine neuen mathematischen Schwierigkeiten macht, nachdem für das fragliche Gebiet \(S\) das Problem für die freien Schwingungen gelöst ist. Man kann nämlich den Ausdruck der \textit{Green}schen Funktion allgemein und überaus durchsichtig aus den Eigenfunktionen des Gebiets wie folgt aufbauen: \[ (6)\quad G_{OP}=\sum\;\frac{u_m(0)u_m(P)}{k^2-k_m^2}\,, \] die Summation erstreckt über das vollständige System der Eigenwerte. Diese Zurückführung der erzwungenen Schwingungen auf die freien des Gebiets läßt sich bezeichnen als eine Art funktionentheoretischer Spektralanalyse. Die Formel (6) bringt die charakteristischen Eigenschaften der \textit{Green}schen Funktion zum unmittelbaren Ausdruck.