Sur le problème biharmonique et le problème fondamental dans la théorie de l'élasticité. (Q1487683)

Mit den Bezeichnungen der hydrodynamischen, früher veröffentlichten Note (Referat S. 821 dieses Bandes, JFM 41.0821.02) lassen sich die Gleichungen des biharmonischen Problems auf die Form bringen: \[ (1)\qquad \left\{\begin{aligned} \Delta\theta=0,\;& {\mathfrak u}=0,\dots,\;\text{innerhalb }\tau,\\ u=f\cos (\nu x),\;& v=f\cos (\nu y),\;w =f\cos(\nu z),\;\text{an der Oberfläche }\sigma,\end{aligned}\right. \] wo \(f\) eine Funktion von \(\sigma\) ist. Während der Verf. in der Abhandlung ``Allgemeine Lösung des biharmonischen Problems im Raume'' (Krak. Anz. 1907, 837-896; F. d. M. 38, 769, JFM 38.0769.01) noch die Annahme gemacht hatte, daß die Funktion \(f\) mit ihren ersten Ableitungen \(D_1f\) auf eine bestimmte Art stetig sein müsse, zeigt er jetzt, daß das Problem (1) sich unter der alleinigen Bedingung lösen läßt, daß die Funktion \(f\) stetig (oder nur abteilungsweise stetig) ist auf \(\sigma\). Die entsprechende Vereinfachung ergibt sich dann für das Fundamentalproblem der Elastizitätstheorie: \[ (9)\qquad\left\{\begin{aligned} & \Delta u+k\;\frac{\partial\theta}{\partial x}=0,\dots,\text{ innerhalb }\tau,\\ & u=\overline{u},\dots,\text{ an der Oberfläche }\sigma.\end{aligned}\right. \] Das Problem (9) läßt sich stets unter der alleinigen Bedingung lösen, daß die Funktionen \(\overline{u},\overline{v},\overline{w}\) stetig (oder nur abteilungsweise stetig) sind auf \(\sigma\).