Über die Eigenschwingungen eines elastischen Körpers bei verschwindenden Druckkomponenten an der Oberfläche. (Q1487685)

Nachdem der Verf. in der Abhandlung Toulouse Ann. (2) 10, 165-269 (F. d. M. 39, 853, 1908, JFM 39.0853.03) gezeigt hat, daß das elastische Gleichgewichtsproblem für einen elastischen Körper \(\tau\) mit geschlossener, stetig gekrümmter, einfach zusammenhängender Oberfläche \(\omega\) für \(k > \frac13\) bei gewissen Stetigkeitsvoraussetzungen über die gegebenen Funktionen \(X, Y, Z\) von \(x, y, z\) stets ein und nur ein System von Lösungen \(u, v, w\) zuläßt, beweist er jetzt die Existenz einer abzählbar unendlichen Menge von Funktionentripeln \(U_\kappa\), \(V_\kappa\), \(W_\kappa\), welche folgenden Bedingungen entsprechen: \[ \begin{aligned} & (4)\qquad \Delta U_\kappa + k\;\frac{\partial\varTheta_\kappa}{\partial x}+\lambda^2_\kappa U_\kappa = 0\text{ usw. in }\tau,\\ & (5)\qquad \frac{\partial U_\kappa}{\partial_\nu}=\tfrac12(1-k)\varTheta_\kappa\cos (\nu x)-\tfrac12\{{\mathfrak W}_\kappa\cos (\nu y)-{\mathfrak V}_\kappa\cos(\nu z)\}\text{ usw. an }\omega,\\ & (5')\qquad \left\{\begin{aligned} & \int_\tau U_\kappa d\tau=\int_\tau V_\kappa d\tau=\int_\tau W_\kappa d\tau=0,\\ & \int_\tau{\mathfrak U}_\kappa d\tau=\int_\tau{\mathfrak V}_\kappa d\tau=\int_\tau {\mathfrak W}_\kappa d\tau=0.\end{aligned}\right.\end{aligned} \] Dabei sind die \(\lambda^2_\kappa\), welche in der Art \(\lambda^2_1<\lambda^2_2<\dots\) angeordnet gedacht werden, eine Reihe positiver Zahlen, die eine und nur eine Häufungsstelle im Unendlichen haben. Solche Funktionentripel \(U_\kappa, V_\kappa, W_\kappa\) werden als die elastischen Funktionentripel zweiter Art bezeichnet, die \(\lambda^2_\kappa\) als die ihnen zugehörigen Zahlen. Jedem der elastischen Funktionentripel ist eine solche Eigenschwingung \[ (9)\qquad U=U_\kappa\cos\left(\frac{t}{T_\kappa}+\delta\right)2\pi,\quad V=V_\kappa\cos\left(\frac{t}{T_\kappa}+\delta\right)2\pi,\quad W=W_\kappa\cos\left(\frac{t}{T_\kappa}+\delta\right)2\pi \] zugeordnet, wo \(\delta\) eine willkürliche Konstante ist, und die betreffende Schwingungsdauer \(T_\kappa\) bestimmt sich aus der dem Tripel zugeordneten Zahl \(\lambda^2_\kappa\) durch die Relation \(T_\kappa = \lambda_\kappa/2\pi\sigma\). Die in ihrem Wesen rein mathematische Theorie der elastischen Funktionentripel läßt nicht bloß diese eine Anwendung zu; ihre Verwendbarkeit ist eine ähnliche wie die der harmonischen Funktionen. Es läßt sich nämlich jedes Funktionentripel \(u, v, w\), das in \(\tau\) gewissen Stetigkeitsbedingungen und an \(\omega\) gewissen Grenzbedingungen genügt, nach den elastischen Funktionentripeln zweiter Art entwickeln: \[ (11)\qquad u=\sum_\kappa c_\kappa U_\kappa,\quad v =\sum_\kappa c_\kappa V_\kappa,\quad w=\sum_\kappa c_\kappa W_\kappa. \] Zunächst gilt dieses für das System der Differentialgleichungen der Eigenschwingungen eines elastischen Körpers: \[ (7)\qquad \Delta U=k\;\frac{\partial \varTheta}{\partial x}=\sigma^2\;\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}\;\text{usw. in }\tau, \] dann aber auch für die beiden anderen Systeme: \[ \begin{aligned} (13)\qquad & \Delta u+k\;\frac{\partial\theta}{\partial x}=\mu\;\frac{\partial u}{\partial t}\text{ usw.,}\\ (14)\qquad & \Delta u+k\;\frac{\partial \theta}{\partial x}=\sigma^2\;\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+\mu\;\frac{\partial u}{\partial t}\,.\end{aligned} \] Als Anwendung der allgemeinen funktionentheoretischen Untersuchung wird in den beiden letzten Paragraphen das Problem für die elastischen Funktionentripel in dem besonderen Falle behandelt, wenn der Körper eine Kugel vom Radius \(R\) um den Anfangspunkt als Zentrum ist, und zwar zunächst die elastischen Eigenschwingungen der Kugel bei ruhender Oberfläche, sodann bei verschwindenden Druckkomponenten an der Oberfläche.