Über eine Anwendung der Theorie der Funktionen einer komplexen Größe auf das zweidimensionale Problem der mathematischen Elastizitätstheorie. (Q1487689)

Dieser Aufsatz enthält die Erklärung neuer Mittel zur Erledigung der zweidimensionalen Probleme der Elastizitätstheorie. Der Verf. zeigt zwei Methoden zur Erledigung dieser Probleme. Die erste bezieht sich auf den Fall, wenn die normalen und tangentialen Elastizitätskräfte auf der Grenzkontur vorgegeben sind. Zuerst muß man die isometrischen Koordinaten \(\xi, \eta\) finden, zwischen welchen die Grenzkontur \(\xi=\xi_0\) sich befinden soll. Diese Koordinaten charakterisieren sich durch die konforme Abbildung: \[ \zeta=\xi+\eta i=f(z), \] wo \(z= x + yi\). Indem der Verf. durch \(P, Q\). und \(U\) die Komponenten der elastischen Kräfte in dem angenommenen krummlinigen Koordinatensystem bezeichnet, bemerkt er, daß die Funktion \(\Omega=P+Q\) der Gleichung: \[ \Delta_2\Omega=0 \] genügt, und daß zwischen den normalen Drucken \(P, Q\) und der tangentialen Kraft \(U\) überall im Innern des Körpers die Beziehung: \[ (1)\qquad \frac{2U+i(P-Q)}{h^2}=-\frac{i}{2}\;f(\zeta_1)f'(\zeta)\;\frac{d\Phi}{d\zeta}+F(\zeta) \] stattfindet, wo \(h\) der Differentialparameter des Koordinatensystems ist, \(\zeta=\xi-\eta i\), \(F=\varphi+\psi i\) eine gewisse Funktion von \(\zeta\) und \(\varPhi\) die Funktion von \(\zeta\), deren reeller Teil \(\Omega= P + Q\) ist. Wenn wir annehmen: \[ -\tfrac12\,f(\zeta_1)f'(\zeta)=\alpha_0+i\beta_0, \] so zerlegt sich die Gleichung (1) in zwei Gleichungen: \[ (2)\qquad \left\{\begin{aligned} \frac{2U}{h^2} & =\alpha_0 \frac{\partial\Omega}{\partial \eta}-\beta_0\;\frac{\partial\Omega}{\partial\xi}+\varphi,\\ \frac{P-Q}{h^2}& =\beta_0\;\frac{\partial\Omega}{\partial\eta}+\alpha_0\;\frac{\partial\Omega}{\partial\xi}+\psi.\end{aligned}\right. \] Indem wir anstatt \(\alpha_0+i\beta_0\) die Funktion \(\chi(\zeta)\) der komplexen Veränderlichen \(\zeta\) nehmen: \[ \chi(\zeta)=-\tfrac12\,f(2\xi_0-\zeta)f(\zeta)=\alpha+\beta i, \] welche Funktion auf der Kontur \(\xi = \xi_0\) in \(\alpha_0 +\beta_0i\) übergeht, ersetzen wir die Formel (2) durch folgende Formel: \[ (3)\qquad \left\{\begin{aligned} & S=\alpha\;\frac{\partial\Omega}{\partial\eta}-\beta\;\frac{\partial\Omega}{\partial\xi}+\varphi,\\ & T=\beta\;\frac{\partial\Omega}{\partial\eta}+\alpha\;\frac{\partial\Omega}{\partial\xi}+\psi.\end{aligned}\right. \] Hier ist \(S + Ti\) eine Funktion von \(\zeta\), wobei \(S\) sich auf der Kontur in eine im voraus gegebene Größe \(2U/h^2\) umbildet. Wenn wir das \textit{Dirichlet}sche Problem für die Funktion \(S\), welche der \textit{Laplace}schen Gleichung genügt und eine bestimmte Bedeutung auf der Kontur hat, zur Lösung bringen, finden wir, wenn \(S\) schon gefunden ist, \(T\) mit Hülfe einer Quadratur. Die Bedeutung von \(T\) auf der Kontur wollen wir für die für uns unbekannte Größe \((P - Q)/h^2\) annehmen. Daraus bestimmen wir \(\Omega = P + Q\) auf der Kontur und lösen so das zweite \textit{Dirichlet}sche Problem bezüglich der Bedeutung von \(\Omega\) im ganzen Körper. Wenn wir \(S, T\) und \(\Omega\) kennen, bestimmen wir aus der Gleichung (2) \(\varphi\) und \(\psi\), wobei \(\varphi+\psi i\) von selbst die Funktion von \(\zeta\) darstellt. Auf solche Weise sind die Bedeutungen \(\Omega,\varphi\), und \(\psi\) gefunden; diese Bedeutungen muß man in die Gleichung (2) einführen, damit aus ihnen \(P, Q\) und \(U\) in jedem Punkte des Körpers bestimmt werden. Die zweite Methode des Verf. bezieht sich auf die Probleme, in welchen auf den Grenzkonturen die Verschiebungen gegeben sind. Ebenso wie die Formel (1) findet der Verf. die Formel: \[ (4)\qquad \left\{\begin{aligned} & \frac{v+ui}{h}=-\frac{\lambda+\mu}{2\mu(\lambda+2\mu)}\;f'(\zeta_1)\frac{\partial\varPhi}{\partial\zeta}\\ & +\tfrac12\;\frac{\lambda+3\mu}{[u(\lambda+2\mu)]}\;Pif'(\zeta)+F(\zeta),\end{aligned}\right. \] wo \(v\) und \(u\) die Verschiebungen nach den Koordmatenlinien sind, \[ \varPhi = \int[(\lambda + 2\mu)\Delta + 2i\mu\omega]dz. \] (\(\Delta\) die Volumenänderung, \(\omega\) die Drehung des Teilchens), \(P\) der reelle Teil dieses Ausdrucks und \(F\) eine gewisse Funktion von \(\zeta\). Die Formel (4) dient mit Hülfe der Lösung von Problemen des \textit{Dirichlet}schen Typus zur Bestimmung von \(u\) und \(v\) im Innern des ganzen Körpers. Der Verf. zeigt eine interessante Wechselbeziehung der beiden betrachteten Probleme und wendet die Formeln (1) und (4) auf viele zahlreiche und interessante Beispiele an.