Über die Spannungen in einem ursprünglich geraden, durch Einzelkräfte in stark gekrümmter Gleichgewichtslage gehaltenen Stab. (Q1487699)

\textit{G. Kirchhoff} hat als der erste den Spannungszustand für einen einerseits eingespannten elastischen Stab bestimmt, der durch eine am freien Ende angreifende Kräftegruppe in stark gekrümmter Gleichgewichtslage erhalten wird. Seine Lösung gipfelt in dem Nachweise, daß diese Aufgabe mit der Kreiselbewegung übereinstimme. Eine Forderung bleibt jedoch unerfüllt. Legt man nämlich durch den Stab irgendeinen Querschnitt, so müssen die von dem eingespannten Teile auf den abgeschnittenen Teil ausgeübten Spannungskräfte zusammen mit der von vornherein bekannten Gruppe der Endkräfte die sechs Gleichgewichtsbedingungen für einen starren Körper erfüllen. Nun stellen aber die \textit{Kirchhoff}schen Formeln einerseits eine erste Annäherung an die wirklichen Werte der Spannungen dar; andererseits rufen die Momente Spannungsanteile hervor, die als groß genug gegen die von den Komponenten bewirkten Anteile angesehen werden dürfen. Daher liefern die über den Querschnitt erstreckten sechs betreffenden Integrale zwar die drei Momente richtig: die beiden Integrale aber, welche die Komponenten der Querkraft liefern müßten, ergeben Null statt der richtigen Werte. Die von \textit{Kirchhoff} vorgenommenen. Vernachlässigungen sind im Verhältnis zu den beibehaltenen Größen so klein wie die Deformationskomponenten zur Einheit, also nicht größer als die Fehler, die man bei der Aufstellung der allgemeinen Elastizitätsgleichungen vor Eintritt in jede Sonderuntersuchung begeht. Denn 1) werden für die Deformationskomponenten stets lineare Funktionen der Verschiebungskomponenten genommen, während doch die strengen Ausdrücke für die fraglichen Größen auch quadratische Glieder ihrer Argumente enthalten; 2) schreibt man die statischen Gleichungen ohne weiteres so hin, als ob sie für das Körperteilchen in seiner ursprünglichen Gestalt Gültigkeit hätten, während sie doch, streng genommen, für das deformierte Körperteilchen gelten. Man vernachlässigt also gegen die ursprünglichen Koordinaten die Verschiebungskomponenten, d. h. die Deformationskomponenten gegen eins; 3) reduziert man das elastische Potential auf eine quadratische Funktion der Deformationskomponenten und damit die Kraftkomponenten auf lineare Funktionen dieser Größen. Indem man also auf die Mitberücksichtigung der Glieder dritter Ordnung in dem Ausdruck des Potentials verzichtet, begeht man einen Fehler, der nicht größer und nicht kleiner als die eben bezeichneten ist, wenn nicht die Konstanten des vernachlässigten Teiles einer wesentlich anderen Größenordnung als die Konstanten des beibehaltenen Teiles angehören. Die sinngemäße Berücksichtigung aller Umstände führt tatsächlich zu Formeln, welche dem gewollten Zwecke genügen. Dies wird in der Abhandlung zunächst gezeigt; danach werden die allgemeinen Formeln auf den besonderen Fall einer einfach gekrümmten Röhre mit kreisförmigem Querschnitt angewendet. Bei der gewöhnlichen Lösung dieser Aufgabe wird nur eine Spannungskomponente (die Normalspannung des Querschnitts) in Rechnung gesetzt, alle anderen werden gleich Null gesetzt. Das Spannungsmaximum wird bei festgehaltener Größe des Querschnittinhalts um so kleiner, je größer der mittlere Durchmesser und je kleiner demgemäß die Wandstärke ist. Es kommt auf das Widerstandsmoment an, nicht auf den Flächeninhalt, Nach dieser Theorie kann man durch geeignete Verteilung die geringste Stoffmenge für die Aufnahme der eintretenden Spannungen geeignet machen. Dagegen sind die vernachlässigten Spannungen, welche die Längsschnitte in Wirklichkeit erleiden, nur von dem Flächeninhalt, nicht aber von dem Verhältnis der Wandstärke zum Durchmesser abhängig. Es gehört mithin zur Aufnahme der von einem Moment hervorgerufenen Spannungen eine Mindestmenge von Material. Die Resultate lassen also erkennen, wie bedenklich die einseitige Benutzung des Widerstandsmoments als Maßstab für die Brauchbarkeit eines Querschnitts vom Standpunkte der Theorie aus erscheint.