Einige Stabilitätsprobleme der Elagtizitätstheorie. (Q1487710)

Der Aufsatz enthält die (schon früher russisch veröffentlichte) Lösung von vier verschiedenen Problemen: Im ersten Kapitel wird die Stabilität gegen Knickung untersucht, und zwar durch Vergleichung der potentiellen Energie für die geradlinige und die gekrümmte Form des Gleichgewichts. Zunächst wird so die \textit{Euler}sche Formel auf zwei verschiedene Weisen gewonnen, einmal unter der Annahme, daß die Enden des Stabes sich bei der Ausbiegung einander nicht nähern, dann unter der Annahme, daß die Druckkraft bei der Ausbiegung konstant bleibt. Es folgen kompliziertere Fälle, in denen die bei der Ausbiegung auftretende Querkraft mitberücksichtigt wird; erst die Anwendung auf Gitterstäbe \((Q = Pdy/dx\)), dann auf elastische seitliche Stützung \((Q\sim y)\), welch letztere Lösung auch zur Bestimmung der kritischen Winkelgeschwindigkeit einer Welle benutzt wird. Hervorzuheben ist dazu noch die Bestimmung der Anzahl \(m\) der Halbwellen, welche die erste Ausbiegungsform des Stabes liefert. Diese folgt aus der Beziehung, daß die größte Länge des Stabes, welcher \(m\) Halbwellen als erste Ausbiegungsform hat, denselben Wert der Knicklast liefern muß, unabhängig davon, ob der Stab sich in \(m\) oder \(m+1\) Halbwellen teilt. Das zweite Kapitel behandelt die Knicksicherheit einer rechteckigen Platte, die in ihrer Mittelebene auf Druck beansprucht ist. Die Lösung wird aus der Differentialgleichung mit den Grenzbedingungen für den gestützten, eingeklemmten und freien Rand erhalten. In jedem Fall ergeben sich zwei lineare Gleichungen mit zwei unbestimmten Konstanten, welche nur dann von 0 verschiedene Werte annehmen können, wenn die Determinante der zwei Gleichungen verschwindet; dies ist immer nur oberhalb einer bestimmten Grenze für die äußere Kraft (bzw. für die Länge des Stabes oder dergl.) möglich, die eben die Knicklast darstellt. Folgende Spezialfälle werden diskutiert: Platte auf sämtlichen Rändern gestützt, Druckkräfte gleichmäßig auf zwei gegenüberliegende Seiten verteilt; drei Ränder gestützt, Druckkräfte dem freien Rand parallel; zwei gegenüberliegende Ränder gestützt, ein Rand eingeklemmt, ein Rand frei, Druckkräfte gleichmäßig auf die gestützten Ränder verteilt in Übereinstimmung mit ihrer gleichzeitigen Behandlung durch Reißner); dasselbe mit zwei gestützten und zwei eingeklemmten Rändern. Ferner wird der Einfluß einer elastischen Einklemmung des Randes berücksichtigt mit Hülfe der Annahme, es komme beim Ausbeulen der Platte auf dem eingeklemmten Rand ein Moment zum Vorschein, proportional dem Durchbiegungsgradienten \(\frac{\partial w}{\partial y}\). Schließlich wird noch die Stabilität einer rechteckigen Platte, die durch einzelne Kräfte gedrückt wird, in einer von der früheren Behandlung durch \textit{Sommerfeld} abweichenden Form diskutiert, durch Vergleichung der potentiellen Energie der ebenen, und der ausgebeulten Platte. Das dritte Kapitel ist den ``Kipperscheinungen'' eines I-Trägers gewidmet, den Labilitätserscheinungen in dem Falle, daß mit dem seitlichen Ausweichen des Trägers immer eine Torsion desselben verbunden ist. Zur Aufstellung der Differentialgleichungen braucht der Verf. eine neue Beziehung zwischen der Größe des Torsionsmomentes und dem Drehungswinkel; denn in der Nähe der Einklemmungsstelle eines solchen Trägers ist die gewöhnliche Formel \((M = C\varphi)\) nicht anwendbar, da auf die Biegung der Flansche bei der Torsion Rücksicht genommen werden muß. Dies geschieht durch Hinzufügen des Momentes der Querkräfte, welche infolge der Biegung in den Flanschen herrschen, zum reinen Torsionsmoment. Die so erhaltene Beziehung hat der Verf. experimentell bestätigt. Nach Aufstellung der Differentialgleichungen wird das Problem der Biegung durch ein Kräftepaar nach derselben Methode wie die Probleme des zweiten Kapitels erledigt, und zwar in den zwei Fällen, daß die Balkenenden bei der Ausbiegung um die Hauptträgheitsachse kleinsten Trägheitsmomentes drehbar, und daß sie festgehalten sind. Die weiteren Probleme -- Träger an einem Ende eingeklemmt, am anderen Ende durch eine Einzelkraft belastet, und Träger mit einer Last in der Mitte -- bringen größere mathematische Schwierigkeiten, da sie auf inhomogene Differentialgleichungen führen, deren Lösungen nur in Reihen angeschrieben werden können. Dennoch läßt sich die in den einfacheren Fällen angewandte Methode durchführen. Der Verf. gibt Tabellen zur numerischen Berechnung der Stabilitätsgrenze an und hat auch eine solche Tabelle durch Experimente bestätigt. Das vierte Kapitel befaßt sich mit der Stabilität einer zylindrischen Schale, die in der Richtung der Erzeugenden auf Druck beansprucht ist (ein schon früher von \textit{R. Lorenz} behandelter Problem). Die Größe der kritischen Spannungsresultante wird im Falle, daß die Kreisränder der Schale drehbar befestigt sind, sowohl aus den Gleichgewichtsbedingungen, als auch durch Untersuchung der Änderung der potentiellen Energie beim Ausbeulen bestimmt und mit dem Werte verglichen, den die gewöhnliche \textit{Euler}sche Formel der Stabknickung liefert. Die Form der achsensymmetrischen Ausbeulung (Anzahl der Halbwellen) wird mit Hülfe desselben Kriteriums wie im zweiten Kapitel bestimmt. Schließlich wird noch das Problem der dehnungglosen Deformation einer zylindrischen Schale besprochen. Eine Formel wird zwar nur unter Verletzung sowohl der Gleichgewichtsbedingungen wie der Grenzbedingungen gewonnen, doch zeigt die Erfahrung, daß sie anwendbar ist, also die vernachlässigten Glieder klein sind.