Beiträge zur \textit{Graßmann}schen Ausdehnungslehre. I. Mitteilung: Einige allgemeine Sätze. (Q1488767)

Der Verfasser beginnt mit einer Identität, die sich geometrisch so deuten läßt: Werden in einem Punktgebiet \(rn\)- ter Stufe \(n\) von einander unabhängige Gebiete \(r\)-ter Stufe angenommen, und projiziert man aus einem beliebigen Punkte \(p\) jedes der Gebiete \(r\)-ter Stufe auf das die übrigen \(n-1\) Gebiete \(r\)- ter Stufe verbindende Gebiet \(r(n-1)\)-ter Stufe, so erhält man \(n\) Punkte, die mit \(p\) einem Gebiet \(n\)-ter Stufe angehören. Als Sonderfall ist hierin die bekannte Relation enthalten: \[ [A_1,A_2]p = [A_1\cdot A_2p]+[A_2\cdot A_1p]. \] Es wird sodann der Begriff einer Komplexgröße \(r\)-ter Stufe eingeführt. Darunter versteht der Verfasser eine Summe von einfachen Größen \(r\)-ter Stufe in einem Hauptgebiete von höherer als \((r + \mathbf{1})\)-ter Stufe. Es zeigt sich, daß jener Satz auch für Komplexgrößen gültig bleibt. Weiter gilt für einfache wie für komplexe Größen \(r\)-ter Stufe \(C\), wenn \(r\) gerade ist: \[ \sum^n_{i=1}[C_1C_2\cdots C_{i-1}C_{i+1}\cdots C_n\cdot C_i]= 0, \] und wenn \(r\) ungerade ist: \[ \sum^n_{i=1}(-1^i)[C_1C_2\cdots C_{i-1}C_{i-1}\cdots C_n\cdot C_i]= 0, \] Identitäten, die für die Untersuchung der den Strahlkomplexen analogen Gebilde in mehrdimensionalen Räumen von Bedeutung sind. Insbesondere macht der Verfasser eine Anwendung auf den Fall \(r = 2, n = 3\), wo die einfache Gleichung gilt: \[ [AB \cdot CD] = [ABCD] + [ABDC], \] und beweist einen bemerkenswerten Satz über die von \textit{Schoute} als Doppelvier bezeichnete Konfiguration. Darunter versteht man zwei Quadrupel von Strahlen \(A_i\), \(B_i\) \((i = 1, 2, 3, 4)\) im Gebiete fünfter Stufe derart, daß jeder Strahl \(B_i\) drei der Strahlen \(A_i\) schneidet. Der Verfasser findet, daß zwischen den Größen \([A_iB_i]\) eine Zahlbeziehung besteht, die zu dem Satz führt, daß in jeder Doppelvier die Verbindungsgebiete der Gegenseiten durch eine und dieselbe Gerade gehen; und weiter, daß fünf zugeordnete Gerade eines vierdimensionalen Raumes identisch sind mit den Trägergeraden von fünf Stäben, zwischen denen eine Zahlbeziehung besteht.