Über eine \textit{Klein}sche Bilinearform. (Q1488788)

Der Verf. knüpft an eine frühere Arbeit von ihm selbst an (F. d. M. 37, 142, 1906, JFM 37.0142.01), sowie an zwei solche von \textit{F. Klein} (F. d. M. 36, 132, 1905, JFM 36.0132.03). \textit{Valentiner} hat ternäre Kollineationen \(\sum_\nu\) angegeben, die den 360 geraden Vertauschungen von sechs Elementen \(\xi_1,\dots,\xi_6\), entsprechen. \textit{Wiman} gibt drei ternäre Formen \(f\), \(\varphi\), \(\psi\) von den resp. Graden 6, 12, 30 in drei Variabeln \(x_1, x_2, x_3\), die sich bei den \(\sum_\nu\) nicht ändern; in jene drei Formen gehen zwei numerische (komplexe) Irrationaliäten \(r\), \(s\) ein, die sich aus \(\sqrt{3}\) und \(\sqrt{5}\) einfach zusammensetzen. Aus ihnen gehen, wenn man die \(x\) durch Variable \(u\) ersetzt und das Vorzeichen von \(i\) ändert, drei weitere ternäre Formen \(\overline f\), \(\overline \varphi\), \(\overline \psi\) hervor. Die absoluten Kovarianten \(v, w\) sind, bis auf Zahlenfaktoren, die Quotienten \(f^{-2}\varphi\), \(f^{-5}\psi\). \textit{Gerbaldi} bildet sechs in den \(x\) ternäre quadratische Formen \(K_1,\dots,K_6\) derart, daß deren Kuben die 360 geraden Vertauschungen erleiden, wenn man die \(x\) den \(\sum_\nu\) unterwirft. Die Quotienten \(\eta_\nu = f^{-1}K^3_\nu\) \((\nu = 1,\dots,6)\) hängen von der ``\textit{Gerbaldi}schen'' Gleichung sechsten Grades ab. \textit{Klein}sche Formen sind solche ternären Formen (deren Koeffizienten von den Wurzeln \(\xi_1,\dots,\xi_6\), einer allgemeinen Gleichung sechsten Grades abhängen), die invariant bleiben, wenn man gleichzeitig die \(\xi\) den 360 geraden Vertauschungen und die ternären Variabeln den \(\sum_\nu\) unterwirft. Es sind z. B. \(f,\varphi,\psi\), \(\overline{f},\overline \varphi, \overline{\psi}\), sowie deren simultane Kovarianten \textit{Klein}sche Formen. \textit{Klein}sche Formen, die nur die \(\xi\) enthalten, sind halbsymmetrische Funktionen dieser Wurzeln. Ist \(q = u_1q_1 + u_2q_2 + u_3q_3\) eine \textit{Klein}sche Form, so stellt \(\eta_\nu = f^{-1}(q) K^3_\nu(q)\) eine \textit{Tschirnhausen}transformation dar, die die allgemeine Gleichung sechsten Grades in die \textit{Gerbaldi}sche Normalform überführt. Die Hauptaufgabe besteht in der Aufstellung einer \textit{Klein}schen Bilinearform. Zu dem Behuf werden erst fünf Fundamentalsubstitutionen der 360 geraden Vertauschungen von sechs Elementen eingeführt, sowie die ihnen entsprechenden fünf \textit{Valentiner}schen Kollineationen \(\sum_1,\dots,\sum_5\). Auch in diesen \(\sum_\nu\) ist ein System von Fundamentalsubstitutionen enthalten. Sodann wird ein asyzygetisches System von neun ternären Bilinearfonnen \(\varphi_0,\dots,\varphi_s\) aufgestellt. Bildet man \(t\varphi=\sum t_i\varphi_i\), so heißen diejenigen Substitutionen der \(t_i\), bei denen nach gleichzeitiger Anwendung entsprechender Substitutionen der \(t_i\) und \(\varphi_i\) sich \(t\varphi\) nicht ändert, die kontragredienten zu den Substitutionen der \(\varphi_i\). Es werden dann \(t_2,\dots,\varphi_s\) durch \(t_1\), ausgedrückt, und die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für \(t_1\) aufgestellt, damit \(t\varphi\) eine \textit{Klein}sche Bilinearform ist. Hierbei ist es erforderlich, die Substitutionen \(\sum\) in drei verschiedene Arten zu zerlegen. Die so aufgestellten Formeln gelten für allgemeine Größen \(t\); es handelt sich aber nach \textit{Klein} darum solche Funktionen der \(\xi\) zu finden, die den \(\varphi\) kontragredient sind. Man leite daher aus einer Funktion \(W_1\) der \(\xi\) aus den \(t\)-Formeln die \(W_2,\dots,W_8\) ab, indem man die \(t\) durch die \(W\) ersetzt. Nunmehr ist \(W_1\), dahin zu bestimmen, daß die übrigen Bedingungen erfüllt sind. Indem noch eine Hülfsfunktion \(w\) eingeführt wird, gelangt man zu der \textit{Klein}schen Form \(W =\sum^8_{i=1} W_i(\zeta)\varphi_i\) wo \(\zeta\) ein gewisser spezieller Wert von \(w\) ist. Die Durchführung der Bestimmung der \(W_i\) erfordert allerdings im einzelnen einen erheblichen Aufwand numerischer Rechnung.