Über Teiler von Formen. (Q1488792)

Es handelt sich in dieser, vom Ref. veranlaßten Arbeit um die Teilbarkeit der Formen von \(\nu\) Variabeln. Nach \textit{Kronecker} (F. d. M. 14, 38, 1882, JFM 14.0038.02) kann man allgemein die Faktoren einer Form ermitteln. Ist \(\mu\) der höchste Grad der Form in einer der Variabeln, \(q>\mu\), so setze man \(x_1=t^{q^0},\dots, x_\nu=t^{q^{\nu-1}}\). Die so entstehende Form \(F(t)\) wird auf ihre Zerlegbarkeit geprüft, und aus ihren Faktoren werden die dazu gehörigen möglichen Teiler von \(f\) gefunden; ob sie wirklich Teiler sind, lehrt die Division. \textit{Brill} (F. d. M. 29, 92, 1898, JFM 29.0092.02) findet mit Hülfe symmetrischer Funktionen \(3(n-1)\) notwendige und hinreichende Bedingungen für die Zerlegbarkeit einer ternären Form in lineare Faktoren in invarianter Gestalt; diese Bedingungen lassen sich aber zusammenfassen in eine einzige identisch verschwindende Ternärform. Hiermit vergleiche man auch die Arbeit von \textit{Gordan} (F. d. M. 25, 1086, 1894, JFM 25.1086.02). \textit{Junker} (F. d. M. 25, 230, 1894, JFM 25.0230.01, JFM 25.0230.02) stellt in Ergänzung dazu die zwischen den Elementarfunktionen der symmetrischen Funktionen mehrerer Größenreihen bestehenden Relationen nebst den für diese gültigen Differentialgleichungen auf. Diese Relationen sind dann dieselben, die die Zerlegung einer Ternärform in Linearfaktoren gewährleisten. Die zügehörigen Differentialgleichungen sind keine andern als die der Seminvarianten. \textit{W. Fr. Meyer} (F. d. M. 19, 402, 1887, JFM 19.0402.01) stellt allgemein die Kriterien dafür auf, daß eine Form von \(n\) Variabeln einen in einer der Variabeln linearen, in den andern rationalen Faktor besitzt. Von \textit{Hočevar} (F. d. M. 35, 133, 1904, JFM 35.0133.03, JFM 35.0133.04, JFM 35.0133.05) rühren die Kriterien dafür her, daß eineForm \(f\) überhaupt Linearteiler enthält. Jeder Linearfaktor von \(f\) ist Teiler der dreireihigen Minoren der \textit{Hesse}schen Determinante \(H(f)\), und jeder gemeinsame Faktor \(u\) von \(f\) und jenen Minoren von \(H(f)\) läßt sich in Linearteiler zerspalten. Zum Beweise des zweiten Satzes bedient er sich aber des transzendenten Hülfsmittels der Entwicklung in Potenzreihen, die jedoch von selbst mit den ersten Gliedern abbrechen, wenn die Zerlegungsbedingung erfüllt ist. In einer weiteren Arbeit hat \textit{Hočevar} (F. d. M. 36, 170, 1905, JFM 36.0170.02) die Ausdehnung auf jeden gemeinsamen Teiler von \(f\) und den dreireihigen Minoren von \(H(f)\) ausgedehnt und auch die quadratischen Teiler berücksichtigt. Der Verf. begründet den \textit{Hocevar}schen Satz rein algebraisch; hierbei lassen sich die dreireihigen Minoren von \(H(f)\) auch ersetzen durch die Ausdrücke in den Ableitungen von \(f\), die sich bei Elimination der \(v_i\), und \(u_i\), aus den ersten und zweiten Ableitungen von \(f = uv\) (wo \(u\) linear) ergeben. Entsprechende Eliminationsresultate lassen sich dann für höhere Teiler bilden, was bis zu den kubischen Faktoren durchgeführt wird. Man erhält so gleichzeitig Formeln für lineare, quadratische und kubische Teiler, wobei diese durch ein Wertsystem charakterisiert sind, das sie zum Verschwinden bringt. Der erste Abschnitt ist den Linearteilern gewidmet. Um den \textit{Hoč evar}schen Satz algebraisch zu beweisen, ersetze man ihn durch den andern: Jeder gemeinsame Teiler von \(f\) und \(f_\alpha f^2_\beta- 2f_{\alpha\beta}f_\alpha f_\beta+f_\beta f^2_\alpha\) zerfällt in Linearfaktoren. Man denke sich \(f(x_1,\dots,x_\nu)\) nach fallenden Potenzen von \(x_1\) geordnet: \(f=x^n_1+\cdots\). Die Bedingung dafür, daß \(f\) einen Linearfaktor \(a_x = a_1x_1+a_2x_2+\cdots + a_\nu x_\nu\) besitzt, ist, daß der Ausdruck \(F(x_2,\dots,x_\nu)=f\left(-\frac{a_2x_2+\cdots+a_\nu x_\nu}{a_1}\,,\;x_2,\dots,x_\nu\right)\) identisch verschwindet. Entwickelt man \(F\) nach Potenzen von \(x_2,\dots,x_\nu\), so ist jeder Koeffizient durch die \(n\)-te Ableitung von \(F\) nach dem Variablenprodukte, mit dem er multipliziert ist, darstellbar. Zur Bildung dieser Ableitung wird eine einfache Regel entwickelt, die darauf beruht, daß man \(x_1\) als von \(x_2,\dots,x_\nu\) abhängig auffaßt und dementsprechend ableitet. Damit ergeben sich die oben angeführten Sätze von \textit{Hočevar} und deren Modifikationen. \textit{Hočevar} hatte bereits seinen Hauptsatz im ternären Gebiete auch geometrisch begründet. Die Kurve \(f (x_1,x_2,x_3) = 0\) hat mit \(H(f) = 0\) die und nur die Punkte gemein, für die die erste Krümmung verschwindet. Sind daher alle Punkte von \(u = 0\) zugleich Punkte von \(H(f) = 0\), so ist jeder Punkt von \(f\) Wendepunkt, d. h. die Kurve \(f\) zerfällt in Gerade. Dieses Verfahren wird hier auf Flächen ausgedehnt, indem man die Schnittkurve der Fläche mit einer beliebigen Ebene herausgreift. Die Ebene schneidet alsdann aus der Fläche \(u=0\) nur Gerade aus; mithin zerfällt die Fläche in Ebenen. Weiter wird ein allgemeiner Ausdruck in den Ableitungen von \(f\) aufgestellt, der jeden Linearfaktor von \(f\) enthält. Was höhere Teiler anbelangt, so werden aus der Reihe der Ableitungen von \(f\), die unter der Voraussetzung des Vorhandenseins von Faktoren gebildet werden, die gesuchten Unbekannten ermittelt. Hierbei ist Voraussetzung, daß die zu verwendende Gleichung algebraisch auflösbar wird, und daß der zu berechnende Faktor der einzige ist, der für dieses Wertsystem verschwindet. Auf die umständlichen Rechnungen, deren sich hierzu der Verf. bedient, kann hier nur hingewiesen werden.