Über die Strukturverhältnisse bei einer besonderen Klasse vollkommener Gruppen. (Q1488812)

Die endliche Gruppe \(G_{n, p}\), die durch alle Substitutionen \[ z'=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\quad (\alpha\delta-\beta\gamma=1) \] mit Koeffizienten, aus einem \textit{Galois}schen Felde \(GF[p^n]\) gebildet wird, ist bekanntlich von der Ordnung \(\frac{p^n(p^{2n}-1}{d}\), wo \(d\) für \(p = s\) gleich 1 und für \(p > 2\) gleich 2 zu setzen ist. Abgesehen von den Fällen \(p^n = 2\) und \(p^n = 3\), ist \(G_{n, p}\) eine einfache Gruppe. Die sämtlichen Untergruppen von \(G_{n, p}\) haben für \(n = 1\) \textit{Gierster} (F. d. M. 13, 361, 1881, JFM 13.0361.02), für \(n>1\) \textit{Wiman} (F. d. M. 30, 197, 1899, JFM 30.0197.01) und \textit{E. H. Moore} (F. d. M. 34, 172, 1903, JFM 34.0172.02) aufgestellt. Gestützt auf die Resultate dieser Autoren, untersucht der Verf. in der vorliegenden Arbeit die Gruppe \(L_{n, p}\) der Automorphismen von \(G_{n,p}\). Diese Gruppe \(L_{n,p}\) ist eine vollkommene Gruppe der Ordnung \(p^n(p^{2n}-1)n\) und läßt sich auffassen als die Gesamtheit der Substitutionen \[ z'=\frac{\alpha z^{p^\nu}+\beta}{\gamma z^{p^\nu}+\delta}\quad (\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0;\;\nu=0,1,\dots,n-1) \] mit Koeffizienten aus dem \textit{Galois}schen Felde \(GF[p^n]\); bei der Zusammensetzung zweier solcher Substitutionen hat man \(z^{p^n}\) durch \(z\) zu ersetzen. Der Verf. bestimmt insbesondere alle Invarianten und alle zyklischen Untergruppen von \(L_{n, p}\) und diskutiert in sorgfältiger Weise eine große Reihe von anderen Untergruppen.