Finite groups which may be defined by two operators satisfying two conditions. (Q1488820)

Der Verf. hat sich bereits mehrfach mit den in der Überschrift genannten Gruppen beschäftigt (vgl F. d. M. 38, 184 und 186, 1907, (siehe u.a. JFM 38.0184.01, JFM 38.0186.01)). Im allgemeinen gibt es unendlich viele endliche Gruppen \(\mathfrak G\), die sich durch zwei Elemente \(s_1\), und \(s_2\) erzeugen lassen, für die zwei Relationen vorgeschrieben sind. In der vorliegenden Arbeit werden einige spezielle Systeme von zwei solchen Relationen untersucht, denen nur endlich viele Gruppen \(\mathfrak G\) entsprechen. Besonders einfach ist das System der Relationen \[ (s_1s_2)^n=1,\quad s^2_1=s^2_2, \] zu dem nur Gruppen \(\mathfrak G\) gehören, deren Ordnungen in \(4n^2\) aufgehen. Ausführlich werden die Relationen \[ s^n_1=1, s_1 s_2=s^\alpha_2s^\beta_1 \] diskutiert, wobei eine der Zahlen \(\alpha\) oder \(\beta\) gleich \(\pm1\) sein soll, aber weder \(\alpha = \beta =1\) noch \(\alpha = \beta = -1\) ist. Der Fall \(\beta = 1\) erledigt sich leicht. Ist \(\alpha = 1\), so gehören zu den Relationen unendlich viele Gruppen \(\mathfrak G\). Dasselbe tritt ein, wenn \(\alpha = -1\) wird und die Zahlen \(n\) und \(\beta+1\) nicht teilerfremd sind. Am schwierigsten gestaltet sich die Diskussion des Falles \(\beta = -1\); hier führen nur einige spezielle Wertepaare \(n\), \(\alpha\) auf endlich viele Gruppen. Zuletzt betrachtet der Verf. noch die Relationen \[ s^n_1 = 1,\quad s_1s_2 = s_2^{-2}s_1^{-2}\;\text{und}\;s^n_1=1,\;s_1s_2=s^2_2s^2_1, \] mit denen er sich in den im nachstehenden Referat besprochenen Arbeiten ausführlicher beschäftigt.