On certain determinants connected with a problem in celestial mechanics. (Q1488846)

Die Lösungen des \(n\)-Körperproblems, wenn alle Körper in einer und derselben Geraden liegen und sich in Kreisen bewegen, werden durch das folgende System von \(i\) Gleichungen \((i = 1, 2, 3,\dots, n)\) bestimmt: \[ (1)\qquad \sum\;\frac{m_k}{r^2_{ik}}=-\omega^2x_i\quad (k=1,2,3,\dots,n), \] wo in jeder Gleichung das Glied \(m_i/r^2_{ii}\) durch 0 zu ersetzen ist; in ihm bedeuten \(m_i\) die Massen, \(x_i\) ihre Abstände von dem Schwerpunkte des Systems. In den Vorlesungen des Professors \textit{Moulton} sind diese Gleichungen unter zwei Gesichtspunkten behandelt worden: 1. aus den gegebenen Massen die Abstände zu berechnen.; 2. aus den gegebenen Abständen die Massen zu finden. Die zweite Aufgabe bestimmt die Massen auf eine einzige Art, wenn die Determinante \(J\) der linken Seiten von (1) nicht verschwindet. \(J\) ist eine schiefe Determinante, deren Eigenschaften verschieden sind, je nachdem \(n\) gerade oder ungerade ist. Ist \(n\) gerade, so ist \(J\) ein vollständiges Quadrat, und es zeigt sich, daß in diesem Falle \(J\) für keine Wahl der \(r_{ik}\) verschwindet; das ergibt sich aus der Betrachtung einer \textit{Pfaff}schen Determinante. Wenn \(n\) ungerade ist, verschwindet \(J\) identisch. Löst man dann die ersten \(n-1\) Gleichungen nach \(m_1,m_2,\dots,m_{n-1}\) und substituiert diese Werte in die \(n\)-te Gleichung, so folgt \[ F(x_1,x_2,\dots,x_n)\omega^2 +\varPhi(x_1,x_2,\dots,x_n)m_n = 0. \] Da \(\varPhi\) identisch mit 0 ist, muß auch \(F = 0\) sein. Es wird gezeigt, daß, falls \(x_2,x_3,\dots, x_n\) beliebig gewählt werden, \(F\) nur einmal verschwindet, wenn \(x_1\) zwischen \(-\infty\) und \(x_2\) liegt.