A determinant theorem and its geometrical application. (Q1488850)

Es seien \(n\) Größenpaare \((a_1,a_2), (b_1, b_2), (c_1, c_2),\dots\) gegeben. Diese können zu je \(n\) auf \(2^n\) Arten kombiniert werden, indem eine Größe von jedem Paare immer einbegriffen wird. Man betrachte eine Matrize aus \(n + 2\) Spalten, von denen die erste immer 1 ist, die folgenden \(n\) je einen Buchstaben aus jeder der Kombinationen enthalten, die letzte die Summe der \(k\)-ten Potenzen dieser Buchstaben, also: \[ \| 1,a_r,b_r,c_r,\dots,\sum a^k_r\|, \] wo \(r\) gleich 1 oder 2 ist. Dann ist jede der \((2^n+C_{n+2})\) Determinanten, die durch Auswahl von irgend \(n + 2\) Reihen der Matrize entstehen, gleich 0. Die geometrische Anwendung bezieht sich auf die Gleichung eines Kreises, und einer Kugel im drei- und mehrdimensionalen Raume durch die Koordinaten der sie bestimmenden Punkte.