Un théorème sur les nombres irrationnels. (Q1488901)

Es wird der Satz aufgestellt und bewiesen: Versteht man unter \(x\) eine gegebene irrationale Zahl, so gilt die Grenzgleichung: \[ \lim_{n=\infty}\left\{\sum^n_{k+2} E(kx)-x\;\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n}{2}\right\}=0. \] Zum Beweise ziehe man die beiden aufeinanderfolgenden Brüche \(\frac{r_m}{u_m}\) und \(\frac{s_m}{v_m}\) der \textit{Farey}schen Reihe \(m\)-ter Ordnung heran, zwischen denen \(x\) enthalten ist. Es ist \(u_mv_m>\frac m2\) und \(\lim u_m = \lim v_m = \infty\). Es sei ferner \(\varepsilon\) eine beliebig kleine positive Zahlgröße, so folgen die beiden Ungleichungen: \[ 0<x-\frac{r_m}{u_m}<\frac{2\varepsilon^2}{m}\,,\quad 0<\frac{s_m}{v_m}-x<\frac{2\varepsilon^2}{m}\,. \] Führt man noch die Größen ein: \[ P_n = rE (n\varepsilon+1),\;P_n'=sE(n\varepsilon+1),\;Q_n=uE (n\varepsilon+1),\;Q_n' = vE (n\varepsilon+1), \] so wird \(\frac{P_n}{Q_n}< x<\frac{P_n'}{Q_n'}\). Damit läßt sich \(\sum^n_{k=1}E(kx)\) zwischen zwei Grenzen einschließen, deren eine von \(P_n\), \(Q_n\) und deren andere von \(P_n'\), \(Q_n'\) abhängt, woraus der angegebene Satz folgt. Welche Bedeutung dem Satze zukommt, und welche Stellung er verwandten Sätzen gegenüber einnimmt, wird nicht erörtert.