Common factors of \(\frac{n!}{m!(n-m)!}\) \((m = 1, 2,\dots,n-1)\). (Q1488958)

Beweis mehrerer Sätze für diese Zahlen, die mit \(^nc_m\) bezeichnet werden: Wenn die \(n-1\) Zahlen \(^nc_m\) einen gemeinschaftlichen Faktor \(a(>1)\) besitzen, so ist \(a\) eine Primzahl und \(n = a^r\). Für das Produkt \(P\) der ersten \(n - 2\) Zahlen \(^nc_m\) gibt es höchstens eine Primzahl \(< n\), welche \(P\) nicht teilt, und zwar nur, wenn \(n+1=ga^r\) (\(a\) Primzahl, \(q<a\)). Von den \(n+1\) ganzen Zahlen ``\(^nc_0,{}^nc_1,\dots,{}^ng_n \) ist die Anzahl der ungeraden immer eine ganzzahlige Potenz von 2.