Solution of Lehmer's problem (Q1489016)

Vgl. hierzu F. d. M. 31, 195, 1900, JFM 31.0195.01; 35, 219, 1904, JFM 35.0219.01. In Erweiterung seiner früheren Resultate beweist der Verf. die folgenden Resultate: \(\Theta(n)\) bedeute 1 oder 0, je nachdem alle Primfaktoren von \(n\) die Form \(am+b\) haben oder nicht; \(\nu(n)\) sei die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von \(n\). Sind \(a\) und \(b\) teilerfremd und ist \(\varphi(a) > 2\), so existiert der Grenzwert \[ lim_{x=\infty}\;\frac{\sum^x_{n=1} 2^{\nu(n)}\Theta(n)}{\frac{x}{(\lg x)^{1-\frac{2}{\Theta(a)}}}} \] und ist \(> 0\). Sind \(\lambda\) zu \(a\) teilerfremde unter den \(h\) Restklassen von \(a\) gegeben: \[ am + b_1,\;am + b_2,\dots, am + b_\lambda \] und ist \(\Theta(n) = 1\) oder 0, je nachdem alle Primfaktoren von \(n\) einer dieser Progressionen angehören oder nicht, so existiert: \[ \lim_{x=\infty}\;\frac{\sum^x_{n=1} 2^{\nu(n)}\Theta(n)}{\frac{x}{(\lg x)^{1-\frac{2\lambda}{h}}}} \] und ist \(>0\).