On the solving field corresponding to an algebraic equation (Q1489025)

Vgl. hierzu Verf. [Theorie der algebraischen Zahlen. Band 1. Leipzig: B. G. Teubner (1908; JFM 39.0269.01)]. Ist \(\alpha\) eine algebraische Zahl, welche einer im Bereich von \(p\) irreduzibeln Gleichung genügt, so kann der durch \(\alpha\) konstituierte Körper \(K(\alpha,p)\) gebildet werden, der alle algebraischen \(p\)-adischen Zahlen einer bestimmten Form \[ \beta=\sum^\infty_{\nu=\varrho}\varepsilon_\nu\pi^r \] enthält. Umgekehrt kann man aber zu jeder irreduzibeln Gleichung mit \(p\)-adischen Koeffizienten unendlich viele Körper \(K(\alpha, p)\) angeben, in denen dieselben mindestens eine Wurzel besitzen. Alle diese Körper heißen Auflösungskörper. Der Verf. beweist, als Ergänzung der Darstellung in seinem oben genannten Lehrbuch, daß es für die arithmetische Untersuchung der algebraischen Zahlen für den Bereich von \(p\) völlig gleichgültig ist, welcher dieser Körper zugrunde gelegt wird. Alle zu einer Gleichung gehörigen Auflösungskörper heißen äquivalent. Alle äquivalenten Auflösungskörper niedrigsten Grades, die ebenso viele Wurzeln ergeben, wie der Grad beträgt, heißen Zerlegungskörper. Somit ist auch für die arithmetische Untersuchung der Zerlegung die Wahl des Zerlegungskörpers unter den äquivalenten gleichgültig.