Sull' integrazione per parti. (Q1489236)

\(f(x,y), \varphi(x,y)\) seien in dem Rechteck \(a\leqq x\leqq b, c\leqq y\leqq d\) gegeben und dort im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrierbar. Sind \(F(x,y),\Phi(x,y)\) ihre unbestimmten Integrale, so gilt, wie Verf. zeigt, folgende Formel \[ \begin{multlined} \int_a^x\int_c^y F(x,y)\varphi(x,y)dx dy-\int_a^x\int_c^y f(x,y)\Phi(x,y)dx dy\\ =\int_a^x F(x,y)\left(\int_c^y \varphi(x,y)dy\right)dx-\int_c^y\Phi(x,y)\left(\int_a^x f(x,y)dx\right)dy\\ =\int_c^y F(x,y)\left(\int_a^x \varphi(x,y)dx\right)dy-\int_a^x \Phi(x,y)\left(\int_c^y f(x,y)dy\right)dx.\end{multlined} \]