Notes on some points in the integral calculus. XXIV. Oscillating cases of \textit{Dirichlet}'s integral (continued). (Q1489241)

``In der Note XXIII (F. d. M. 39, 362, 1908, JFM 39.0362.04) habe ich das Integral betrachtet: \[ J(\lambda)=\int_0^\xi F(x)\varphi(1/x)_{\sin}^{\cos}\psi(1/x) \frac{\sin \lambda x}{x}\;dx, \] wo \(\varphi\) und \(\psi\) Glieder der logarithmischen Skala sind und \(F(x)\) regulär auf jedem Wege für \(x = 0\). Ich habe mich auf den Fall beschränkt, bei welchem \(\psi(1/x)\) mit \(1/x\) nicht schneller als \(\log(1/x)\) nach \(\infty\) zustrebt. Diese Beschränkung ist wesentlich für die von mir benutzte Methode, und die Resultate sind, wie ich andeutete, ganz andere in dem entgegengesetzten Falle. Aber selbst diesen Fall habe ich nicht vollständig erörtert, da meine Analyse nur für die Fälle paßte, bei denen \(\varphi(1/x)\equiv 1\), wenn \(J(\lambda)\) endlich schwankt, oder \(\varphi(1/x)\to 0\), wenn \(J(\lambda)\to 0\). In dieser Note will ich meine Resultate durch Erörterung der Fälle vervollständigen, in denen \(\varphi(1/x)\to \infty\), wenn \(x\to 0\). Die Methode meiner vorigen Note kann mit einigen Abwandlungen noch benutzt werden.'' Ein Referat über die subtilen Erörterungen ist nicht möglich.