Notes on some points in the integral calculus. XXV. Absolutely convergent integrals of irregular types (continued). (Q1489242)

Fortsetzung der Note VIII aus derselben Zeitschrift (F. d. M. 32, 304-306, 1901, JFM 32.0304.02). Das Integral \[ \int^\infty e^{-x}\sum\frac{1}{n^k}\;\frac{x^{n^3}}{(n^3)!}\;dx \] ist konvergent. Allgemeiner, es sei \[ F(x)=\sum\frac{1}{\psi(n)}\;\frac{x^{\varphi(n)}}{\Gamma[\varphi(n)+1]}, \] wo \(\varphi(n)\) und \(\psi(n)\) wachsende Funktionen von \(n\) sind, deren Wachstum gewissen Beschränkungen unterliegt. Dann ist das Integral \[ \int_0^\infty x^a e^{-x}F(x)dx=\sum\frac{1}{\psi(n)}\;\frac{\Gamma\{\varphi(n)+a+1\}}{\Gamma(\varphi(n)+1\}} \] konvergent, sobald die Reihe konvergiert, sonst aber divergent.