On the second mean-value theorem of the integral calculus. (Q1489246)

Der zweite Mittelwertsatz wird hier auf den Fall uneigentlicher bestimmter Integrale ausgedehnt. Im ersten Teil wird gezeigt, daß die Gleichung \[ \int_a^b f(x)\varphi(x)\,dx=f(a+0)\int_a^y \varphi(x)\,dx+f(b-0)\int_y^b \varphi(x)\,dx \] (\(y\) ein Wert zwischen \(a\) und \(b\)) noch gültig ist, wenn \(\varphi(x)\) in dem Intervall \(a\dots b\) nur ein uneigentliches Integral im Lebesgueschen Sinne besitzt, falls nur \(f(x)\) in jenem Intervall endlich und monoton ist. Man kann der vorstehenden Gleichung noch eine allgemeinere Form geben, bei der \(f(a+0)\) durch \(A\), \(f(b-0)\) durch \(B\) ersetzt ist, wobei \textit{entweder} \[ A\ge f(a+0),\;B\le f(b-0), \] oder \[ A\le f(a+0),\;B\ge f(b-0) \] ist. Im zweiten Teil wird der Fall betrachtet, daß \(\varphi(x)\) im Intervall \(a\dots b\) nur nach der Harnackschen Definition (s. 1884; JFM 16.0361.01) integrabel ist oder nach einer vom Verf. in seiner Funktionentheorie (s. 1907; JFM 38.0414.01) aufgestellten Erweiterung dieser Definition. Dabei wird der folgende Hülfssatz aufgestellt: Erfüllt \(\varphi(x)\) die genannte Bedingung, so ist \(f(x)\cdot \varphi(x)\) in demselben Sinne integrabel wie \(\varphi(x)\), falls \(f(x)\) wiederum in dem Intervall \(a\dots b\) monoton und endlich ist.