Bemerkungen zum Kontinuitätsbeweise für die Lösbarkeit des \textit{Riemann}schen Problems. (Q1489260)

Sind \(y_l^{(1)},y_l^{(2)},\dots,y_l^{(n)} (l=1,2,\dots,n)\) \(n\) voneinander unabhängige Lösungssysteme des Differentialsystems \[ (1)\quad \frac{dy^{(k)}}{dz}=\sum_1^n\lambda y^{(\lambda)}\sum_1^\sigma v \frac{A_{\kappa\lambda}^{(v)}}{z-a_v}\;(\kappa=1,2,\dots,n), \] so sind bekanntlich \(a_i\) und \(\infty\) Verzweigungspunkte der Funktionen \(y_l^{(k)}\), und bei einer Umkreisung der Stelle \(a_i\) geht \(y_l^{(k)}\) über in \[ (2)\quad y_1^{(k)}A_{l1}^{(i)}+y_2^{(k)}A_{l2}^{(i)}+\cdots+y_n^{(k)}A_{ln}^{(i)}, \] wo die \(A\) von \(k\) unabhängige Konstanten sind. Sind umgekehrt die \(a_i\) und die Substitutionskoeffizienten \(A\) gegeben, so handelt es sich bei dem ``Monodromieproblem'' darum, Funktionensysteme \(f_i\) zu finden, die bei Umkreisung von \(a_i\) die gegebenen Substitutionen erleiden. Wenn es \textit{ein} solches System gibt, dann gibt es unendlich viele, und es lassen sich daraus (immer noch auf unendlich viele Weisen) \(n\) voneinander unabhängige Systeme auswählen, die einem Differentialsystem genau wie (1) genügen. Zwischen den \(A\) und den \(A\), die nach \textit{Poincaré} ganze Funktionen der \(A\) sind, besteht folgende Beziehung: Sind \(r_1^{(v)},r_2^{(v)},\dots,r_n^{(v)}\) die Wurzeln der Gleichung: \[ (3)\quad \begin{vmatrix} &A_{11}^{(v)}-r&\dots&A_{ln}^{(v)}\\ &\dots&\dots&\dots\\ &A_{n1}^{(v)}\dots&A_{nn}^{(v)}&-r\end{vmatrix}=0 \] und \(\lambda_1^{(v)},\lambda_2^{(v)},\dots,\lambda_n^{(v)}\) die Wurzeln der Gleichung \[ (4)\quad\begin{vmatrix} &A_{11}^{(v)}-\lambda&\dots&A_{1n}^{(v)}\\ &\dots\dots&\dots\\ &A_{n1}^{(v)}\dots&A_{nn}^{(v)}&-\lambda\end{vmatrix}=0, \] so ist \(\lambda_k^{(v)}=e^{2\pi ir_k^{(v)}}\). Die \(r^{(v)}\), die als von einander verschieden und deren Differenzen als nicht ganzzahlig vorausgesetzt werden dürfen, sind also durch die Substitutionen der Monodromiegruppe nur bis auf ganze Zahlen bestimmt. \textit{Schlesinger} wählt die letzteren willkürlich, nur so, daß die notwendige \textit{Fuchs}sche Bedingung \[ (5)\quad \sum_1^\sigma v \sum_1^n k r_k^{(v)}=0 \] erfüllt ist. Nach Festlegung der \(r_k^{(v)}\) bleiben die \(A\) von \(N\) komplexen Parametern \(b_1,b_2,\dots,b_N\) abhängig, ebenso viele Parameter \(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_N\) sind in den \(A\) noch verfügbar, wenn die Wurzelwerte \(\lambda_k^{(v)}\) vorgeschrieben werden. Beim Kontinuitätsbeweis kommt nun alles auf den Nachweis an, daß die \(A\) nicht endlichen Grenzwerten zustreben können, wenn von den zugehörigen Zahlen \(A\) wenigstens eine ins unendliche rückt. \textit{Erster Einwand Plemeljs}: Nachdem die \(r\) festgelegt sind, hat sich die Untersuchung nicht mehr mit der Abhängigkeit der \(A\) von den \(A\), sondern mit der viel verwickeiteren Beziehung zwischen den \(b\) und \(\beta\) zu beschäftigen. \textit{Schlesinger} geht auf diesen Einwand nicht ein und sagt nur, daß er sich selbst erledige. \textit{Zweiter Einwand Plemeljs}: Die Behauptung \textit{Schlesingers}, daß die ganzen Zahlen, bis auf welche die \(r\) bestimmt sind, unter Beachtung von (5), im übrigen aber willkürlich gewählt werden können, ist unrichtig; dies wird an Beispielen erläutert. \textit{Schlesinger} sucht diesem Einwand durch Ergänzung seiner Beweisführung zu begegnen; er geht von dem Differentialsystem (1) aus und betrachtet daneben noch unendlich viele andere \((1'), (1''),\dots\), die sich durch andere Wahl der bei den \(r\) noch verfügbaren Zahlen ergeben, und die also alle zur nämlichen Monodromiegruppe gehören. \(M, M', M'',dots\) seien die nach jeweiliger Festlegung der \(r\) noch \(2 N\)-dimensionalen Mengen der \(A\) in \((1),(1'),(1''),\dots\); \(\mathfrak M\) sei die ebenfalls \(2 N\)-dimensionale Menge der \(A\) nach Fixierung der \(\lambda=e^{2\pi ir}\). Die Mengen \(M,M',M'',\dots\) sind umkehrbar eindeutig auf einander bezogen, jedem nicht unendlich fernen Punkte von ihnen entspricht ein ebensolcher von \(\mathfrak M\); auf den Beweis der Umkehrung, nämlich daß jedem endlichen Punkte von \(\mathfrak M\) in wenigstens einer der Mengen \(M\) ein ebensolcher entspricht, kommt alles an. Rückt ein Punkt von \(M\) ins Unendliche so werden \textit{im allgemeinen} auch die entsprechenden von \(M, M', M'',\dots\) wie auch von \(\mathfrak M\) ins Unendliche rücken; diesen allgemeinen Fall hat der ursprüngliche Beweis allein berücksichtigt; doch kann es vorkommen (hierauf bezieht sich der obige zweite Einwand \textit{Plemelj}s), daß einander entsprechende Punkte in einzelnen der Mengen \(M\) ins Unendliche rücken, in andern aber endlichen Grenzpunkten zustreben; ihnen entsprechen im Endlichen gelegene ``singuläre Stellen'' von \(\mathfrak M\), die höchstens \((2N-2)\)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten erfüllen, also kein \(2N\)-dimensionales Kontinuum begrenzen und daher auch dem Kontinuitätsbeweise nicht gefährlich werden können. \textit{Antwort Plemeljs}: \textit{Schlesinger} läßt die Koeffizienten \(A\) in \(M\) von \textit{einem} Parameter \(\mu\) abhängen und mit diesem ins Unendliche rücken, es geht aber aus seiner Darstellung nicht hervor, daß dieser Parameter so gewählt ist, daß die entsprechenden von ihm ebenfalls abhängig zu denkenden Punkte von \(M', M'',\dots\) gleichzeitig ins Unendliche rücken. Jedoch, selbst wenn dies der Fall wäre, würde es für den Kontinuitätsbeweis wenig nützen; man müßte vielmehr zeigen, daß bei jedem irgend möglichen Weg, der die entsprechenden Punkte aller Mengen \(M, M', M'', \dots\) ins Unendliche führt, der zugeordnete Punkt von \(\mathfrak M\) keiner endlichen Grenzlage zustreben kann. Hierzu aber wäre es nötig, die Abhängigkeit der \(A\) von den sie bestimmenden \(N\) komplexen Parametern wirklich einzuführen, wobei sich die in dem früheren ersten Einwand betonten Schwierigkeiten geltend machen würden. Ferner wäre die Möglichkeit oder Unmöglichkeit, daß entsprechende Punkte in einzelnen Mengen \(M\) ins Unendliche rücken, in andern aber überhaupt keine Grenzlage haben, des nähern zu erörtern gewesen. Endlich kommt es nicht nur auf die Dimensionszahl \((2N-2)\) der ``singulären Stellen'' in \(\mathfrak M\) an, sondern auch auf die Häufungsstellen derselben; diese könnten aber ganze \(N\)-fach ausgedehnte Gebiete von \(\mathfrak M\) für die Kontinuitätsmethode unzugänglich machen, ja sie könnten in \(\mathfrak M\) überall dicht liegen. \textit{Schlesinger} erwidert hierauf nur, ``daß ihm seine Beweisführung keiner weitem Ergänzung bedürftig erscheint''.