Über die singulären Stellen eines Systems von Differentialgleichungen erster Ordnung. (Q1489262)

``Die Untersuchungen über die singulären Stellen der durch ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung \[ \frac{dx_1}{X_1}=\frac{dx_2}{X_2}=\cdots=\frac{dx_n}{X_n} \] definierten Kurvensysteme sind qualitativer Art, sofern sie sich mit der Analysis situs solcher Systeme beschäftigen, quantitativer mit Rücksicht auf die Darstellung der Integrale in der Umgebung der singulären Stellen durch konvergente Entwicklungen. Nach beiden Richtungen sind diese Fragen durch die bekannten Aufsätze von \textit{Poincaré} (Journ. de Math. (3) 7 u. 8, (4) 1 u. 2, 1881-1886) gefördert worden und neuerdings vor allem durch die Arbeiten von \textit{Bendixson} (Acta Math. 24, 1901). -- Bei \textit{Poincaré} tritt dabei schon die Beziehung der Fragen der Analysis situs dieser Kurvensysteme zu den \textit{Kronecker}schen Untersuchungen über die Charakteristik eines Funktionensystems zutage, ohne daß indes die hierdurch ermöglichte Form der Darstellung weiter verfolgt würde. \textit{Bendixson} andererseits hat neuerdings eine Abzählungsformel für den Charakter solcher singulären Stellen gegeben (a.a.O. S. 39 f.), welche gleichfalls wieder auf die \textit{Kronecker}schen Sätze hinweist, ohne daß diese Beziehung hervorgehoben wäre. Verf. selbst hat sich in früheren Studien (Leipz. Ber. 1885 und 1886; Math. Ann. 32 und 37; Münch. Ber. 1891 und 1892) zunächst für Gebiete von zwei und drei Dimensionen mit Beziehungen der Analysis situs zur \textit{Kronecker}schen Charakteristikentheorie eingehend beschäftigt und dabei Relationen zwischen den singulären Stellen eines eine Fläche einfach überdeckenden Kurvensystems aufgestellt, welche jene von \textit{Poincaré} und \textit{Bendixson} gegebenen Beziehungen umfassen. -- Legt man für die Darstellung dieser Relationen das obige System von Differentialgleichungen zugrunde, für ein ebenes Gebiet zunächst also die Gleichung \(\frac{dx_1}{X_1}=\frac{dx_2}{X_2}\), und zieht dabei systematisch die \textit{Kronecker}schen Sätze heran, so gewinnen diese Untersuchungen eine sehr übersichtliche Form, welche insbesondere den Kern der von \textit{Bendixson} zur Herleitung seines Satzes angewendeten Methoden klarer hervortreten läßt. Bei der Verallgemeinerung auf das obige System ergibt sich als neu ein Zusammenhang zwischen den singulären Stellen der im \(n\)-dimensionalen Raume definierten Kurvensysteme und gewissen auf \((n-1)\)-dimensionalen Begrenzungsmannigfaltigkeiten abzuzählenden besonderen Punkten. -- Um die Darstellung übersichtlich zu gestalten, schickt Verf. jene früher von ihm aufgestellte Beziehung aus der Analysis situs eines Kurvensystems sowie die zu verwendenden Abzählungsformeln der \textit{Kronecker}schen Charakteristikentheorie voraus, wobei er sich bei den letzteren auf die Summenformeln beschränkt.''