Intégrales passant par un point singulier d'une équation différentielle. (Q1489288)

Von den Integralen einer Differentialgleichung von der Form \[ (x+\cdots)\frac{dy}{dx}=\lambda y+\cdots, \] wo nur die Glieder ersten Grades hingeschrieben sind, ist bekannt, daß in gewissen Fällen \(x\) derart gegen Null konvergieren kann, daß \(y\) ebenfalls gegen Null konvergiert, während \(y/x=t\) daselbst keinen Grenzwert besitzt. Verf. behandelt dieselbe Frage für die allgemeinere Differentialgleichung \[ Y(x,y)dy+X(x,y)dx=0, \] in welcher \(X\) und \(Y\) holomorphe Funktionen von \(x\) und \(y\) sind, die für \(x=0\), \(y=0\) verschwinden, und welche in der Form geschrieben werden kann: \[ [Y_n(x,y)+\cdots]dy+[X_n(x,y)+\cdots]dx=0, \] wenn die Glieder niedrigsten Grades \(n\) in \(x\) und \(y\) in Evidenz gesetzt werden. Es stellt sich heraus, daß es im allgemeinen unendlich viele Integrale gibt, für welche \(y\), wenn \(x\) auf geeignetem Wege nach Null geht, ebenfalls gegen Null konvergiert, während \(t\) keinen (endlichen oder unendlichen) Grenzwert besitzt; z. B. hat die Gleichung \(x^2y'=iy+xy\) das Integral \(y=CXe^{-\frac{i}{x}}\): wenn \(x\) auf der reellen Achse nach Null geht, konvergiert y gegen Null, während \(y/x\) unbestimmt ist. Bei der Behandlung dieser Frage beschränkt Verf. sich auf den Fall, daß das allgemeine Integral der Gleichung: \[ Y_n(x,y)dy+X_n(x,y)dx=0 \] sich in die Form: \[ x^\mu\prod_{i=1}^{i=p} (y-a_ix)^{\mu i}=\text{const.}\;(a_i,\mu-i,a\;\text{Konstanten}), \] oder in besonderen Fällen in die Formen: \[ \begin{aligned} & x^\lambda e^{h(x,y)}\prod_{i=1}^{i=q} [y+\varphi_i(x)]^{\lambda_i}=\text{const.},\\ & x[1+xL_1+x^L_2+\cdots]\prod_{i=1}^{i=p} (t-a_i)^\mu=\text{const.}\end{aligned} \] bringen läßt, wo \(L_1,L_2,\dots\) gebrochene rationale Funktionen von \(t\) und die \(\varphi_i\) für \(x=0\) verschwindende holomorphe Funktionen von \(x\) sind, während \(h(x,y)\) eine ganze transzendente Funktion in \(x\) und \(y\) ist und \(\lambda_i,\lambda\) Konstanten bedeuten, deren letztere Null sein kann. Bei der Durchführung der Untersuchung unterscheidet Verf. die beiden folgenden Fälle: Entweder werden die Werte eines Integrals \(y\) nur für solche Werte von \(x\) betrachtet, welche auf einem bestimmten Wege (der auch den Nullpunkt umkreisen kann) gegen \(x=0\) konvergieren; dann spricht Verf. von einer ``Charakteristik'' der vorgelegten Differentialgleichung. Oder aber \(y\) konvergiert gegen Null, wenn \(x\) auf beliebigem Wege nach Null geht; dann spricht Verf. schlechthin von einem mit \(x\) gegen Null konvergierenden ``Integral''. Die vom Verf. bewiesenen Sätze beziehen sich ausschließlich auf die Charakteristiken und die Integrale, für welche \(y\) mit \(x\) gegen Null konvergiert. Zum Schlusse sei noch hervorgehoben, daß die Nichtexistenz eines Grenzwertes für das Verhältnis \(t=y/x\) nicht die einzige Singularität ist, welche die Charakteristiken darbieten; insbesondere können unter Umständen unendlich viele Charakteristiken derart existieren, daß, wenn \(\varepsilon\) eine beliebig kleine positive Zahl ist, \(y/x\) mit \(x\) gegen Null konvergiert, während \(y/x^{1+\varepsilon}\) mit verschwindendem \(x\) unendlich wird.