Über die Auflösung unendlich vieler linearer Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten. (Q1489347)

Die neuere Theorie der linearen Gleichungssysteme mit unendlichvielen Unbekannten hat gezeigt, daß das System \[ \begin{aligned} (1 +a_{11})x_1+a_{12}x_2+\cdots & = y_1\\ a_{21}x_1 + (1 + a_{22})x_2 +\cdots & = y_2,\\ \hdotsfor2\end{aligned} \] wenn \(\sum_{p,q} a^2_{pq}\) konvergiert, oder die etwas weitere, von Hilbert als Vollstetigkeit bezeichnete Annahme zutrifft, wenn ferner \(\sum_py^2_p\) konvergiert und endlich nur solche Lösungen \(x_1,x_2,\dots\) betrachtet werden, deren Quadratsumme ebenfalls konvergiert, sich genau so verhält, wie ein System von \(n\) linearen Gleichungen mit \(n\) Unbekannten. Sie hat ferner gezeigt, daß dem nicht mehr so ist, wenn man die genannten Voraussetzungen über die Koeffizienten \(a_{pq}\) durch allgemeinere, z. B. die sog. Beschränktheit, ersetzt. Der Gedanke der Differentiallösungen, den Hellinger zur Ausfüllung dieser Lücke erfunden hat, hat den Verf. dazu geführt, die genannten Konvergenzbedingungen durch ganz andere, sehr elementare zu ersetzen: die \(a_{pq}\) mögen ein zeilenfinites System bilden, d. h. in jeder einzelnen Zeile ihres Schemas mögen nur endlichviele von Null verschieden sein; die \(x_p\) und \(y_p\) dagegen sollen überhaupt keiner Konvergenzeinschränkung unterworfen sein. Es stellt sich dann heraus, daß unter diesen Bedingungen wieder völlige Analogie mit der Algebra besteht, d. h. genauer mit der Theorie von \(p\) linearen Gleichungen für \(q\) Unbekannte. Dies folgt unmittelbar aus dem zusammenfassenden Theorem der Arbeit: Jedes zeilenfinite unendliche lineare Gleichungssystem ist einem solchen äquivalent (d. h. durch zeilenfinite, eindeutig invertierbare Transformation der Unbekannten einerseits, der Gleichungen andererseits in ein solches transformierbar), in welchem nach Wegstreichung aller Zeilen und aller Kolonnen, die lediglich Nullen enthalten, ein Schema übrig bleibt, in dessen Diagonale überall 1, sonst überall 0 steht. Entsprechend dem Umstande, daß Konvergenzbetrachtungen durch die Natur der Voraussetzungen ausgeschlossen sind, gilt die ganze Betrachtung auch dann, wenn für Koeffizienten und Unbekannte irgend ein Rationalitätsbereich zu Grunde gelegt wird; auch darf die Anzahl der Unbekannten und der Gleichungen das Abzählbar-unendliche übersteigen. Endlich liefert die Methode der Arbeit zugleich eine neue und den Determinantenbegriff nicht benutzende Auflösungstheorie für \(p\) Gleichungen mit \(q\) Unbekannten, die wegen der Benutzung von Existenzschlüssen eine besonders knappe Form hat. Das Charakteristische an der ganzen Methode ist, daß sie von einer bestimmten Anordnung (Wohlordnung) der Unbekannten ausgeht.