Sur quelques points de la théorie des équations intégrales. (Q1489356)

Aus der Beschaffenheit der berühmten \textit{Fredholm}schen Auflösungsformel folgt mehr als die vollständige Auflösungstheorie der linearen Integralgleichungen zweiter Art: \[ f(s)=\varphi(s)+\int_a^b K(s,t)\varphi(t)\,dt. \tag{1} \] Es folgt, daß \(\varphi(s)\) eine meromorphe Funktion von \(\lambda\) ist, wenn \(K(s,t)\) von einem Parameter \(\lambda\) analytisch abhängt, insbesondere wenn \(K(s,t)\) von der Form \(\lambda L(s,t)\) ist, wenn es sich also um die Gleichung \[ f(s)=\varphi(s)+\lambda \int_a^b L(s,t)\varphi(t)\,dt\tag{2} \] handelt. Der Verf. zeigt, daß man auch die Auflösungstheorie, die \textit{E. Schmidt} in der zweiten seiner drei Abhandlungen zur Theorie der Integralgleichungen [Math. Ann. 64, 161--174 (1907; JFM 38.0377.02)] für die Gleichung (1) entwickelt hat, benutzen kann, um im Falle der Gleichung (2) den meromorphen Charakter von \(\varphi(s)\) als Funktion von \(\lambda\) zu erhalten. Er gibt ferner einen neuen Beweis dafür, daß bei Kernen der Form \(L(s,t)=S(s,t)p(s)q(t)\) diese meromorphe Funktion nur reelle, einfache Pole hat; dabei bedeutet \(S\) eine symmetrische, reelle Funktion seiner beiden Argumente, während \(p(s), q(s)\) positive Funktionen sein sollen.