Caratteristiche multiple e problema di \textit{Cauchy}. (Q1489384)

Verf. beschäftigt sich mit Differentialgleichungen \(n\)-ter Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen. Während die Theorie der Differentialgleichungen mit einfachen Charakteristiken genauer untersucht ist, sind mehrfache Charakteristiken bisher wenig studiert. Im allgemeinen ist das \textit{Cauchy}sche Problem vom Standpunkte der Funktionen reeller Variablen für solche Charakteristiken nicht immer lösbar. Verf. behandelt in der vorliegenden Arbeit zunächst den Fall doppelter und dreifacher Charakteristiken. Die für doppelte Charakteristiken erhaltenen Resultate sprechen sich in drei Sätzen aus, die eine Analogie zu drei aus der Theorie der einfachen Charakteristiken bekannten Sätzen aufweisen (\textit{Goursat}, Équations aux dér. part. d. sec. ordre 2, 299-302, 303-309, 1898; \textit{E. E. Levi}, Rom. Acc. L. Rend. (5) \(17_1\), 331-339; F. d. M. 39, 424, 1908, JFM 39.0424.01). I. Es gibt drei Typen von doppelten Charakteristiken: \(A_2\)) die Charakteristik \(n\)-ter Ordnung ist in nur zwei (eventuell zusammenfallenden) Charakteristiken \((n+1)\)-ter Ordnung enthalten. -- \(B_2\)) Die Charakteristik \(n\)-ter Ordnung ist in einer doppelt unendlichen Mannigfaltigkeit von Charakteristiken \((n+1)\)-ter Ordnung, im allgemeinen in einer Gesamtheit von Charakteristiken \((n+h)\)-ter Ordnung, die von \(2h\) willkürlichen Konstanten abhängig sind, enthalten. - \(C_2\)) Die Charakteristiken \((n+1)\)-ter Ordnung, welche die \(n\)-ter Ordnung enthalten, hängen von einer willkürlichen Funktion ab. -- Zwei Flächen, die in einem Punkte einer Charakteristik vom Typus \(B_2\)) eine Berührung der Ordnung \(n+h+1\) haben, besitzen in jedem Punkte derselben Charakteristik wenigstens eine Berührung der Ordnung \(n+h\); dies geschieht nicht für eine Charakteristik vom Typus \(C_2\)). Eine Charakteristik vom Typus \(A_2\)) ist im allgemeinen nur in höchstens 2 Integralflächen enthalten. II. Eine analytische Charakteristik vom Typus \(B_2\)) oder \(C_2\)) gehört immer unendlich vielen Integralflächen an, die in der Umgebung der Charakteristiken analytisch sind; eine solche Fläche wird völlig bestimmt, wenn man von ihr verlangt, daß sie außerdem noch durch eine Kurve hindurchgeht, die die Charakteristiken in einem Punkte trifft. III. Wenn in einem Gebiete \(\Delta\) des Raumes \(S\) die Gleichung immer eine doppelte Charakteristik besitzt, so ist diese immer vom Typus \(A_2\)) oder \(B_2\)). Wenn in \(\Delta\) alle Charakteristiken reell sind, aber \(v\) von ihnen doppelt und vom Typus \(B_2\)) und die übrigen einfach, so ist das \textit{Cauchy}sche Problem auch vom Standpunkte der Funktionen reeller Variabeln lösbar.