Démonstration géométrique de l'existence de l'intégrale dans un type hyperbolique parabolique d'équations aux dérivées partielles. (Q1489405)

Im Anschluß an eine Arbeit von \textit{M. Montel} (Ann. de l'Éc. Norm. (3) 24; F. d. M. 38, 440, 1907, JFM 38.0440.03), der das analoge Problem für die Gleichung \(\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f(x,y,z)\) behandelt hat, beweist Verf. den Satz: Gegeben die Gleichung \(\frac{\partial^n z}{\partial x^m\partial y^{n-m}}=f\left(x,y,z\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial z},\dots,\frac{\partial^{p+q}z}{\partial x^p\partial y^q},\dots\right)\), wo \(p\leqq m-1\) ist, \(q\leqq n-m-1\) und \(f\) als Funktion seiner Argumente in einem Gebiete \(\Delta\) endlich und stetig, dann existiert immer eine Lösung der Differentialgleichung, die mit ihren in der Gleichung vorkommenden Ableitungen stetig ist; und zwar wird \(\frac{\partial^{m-i}z}{\partial x^{m-i}}=\varphi_i(y), i=1,2,\dots,m\), für \(x=x_0\) und \(\frac{\partial^{n-m-i}z}{\partial y^{n-m-i}}=\psi_i(x)\), \(i=1,2,\dots,n-m\), für \(y=y_0\), \(\varphi_i(y)\) und \(\psi_i(x)\) sind beliebig vorgeschriebene Funktionen, die die Bedingung erfüllen, daß die Ableitungen von \(\psi\) bis zur Ordnung \(m-1\) und die von \(\varphi\) bis zur Ordnung \(n-m-1\) zwischen gewissen Grenzen stetig sind, so daß \(\varphi_k^{(n-m-h)}(y_0)=\psi_h^{(m-k)}(x_0)\) \((h=1,\dots,n-m\), \(k=1,2,\dots,m)\), wenn \(x_0,y_0\) ein Punkt von \(\Delta\) ist.