Relazioni di grandezza fra le soluzioni di due sistemi di equazioni alle derivate parziali, e fra le loro derivate. (Q1489411)

Gegeben ist \((S)\frac{\partial^{n_\kappa}z_\kappa}{\partial x^{m_\kappa}\partial y^{n_\kappa-m_\kappa}}=f_\kappa\left(x,y,z_1,z_2,\dots,z_n,\dots,\frac{\partial^{p_i+q_i}z_i}{\partial x^{p_i}\partial y^{q_i}},\dots\right)\), ein System, wo \(f_\kappa\) endliche und stetige Funktionen ihrer Argumente sind, während \(p_i\leqq m_i-1, q_i\leqq n_i-m_i-1\) (oder Null, wenn \(m_i\) oder \(n_i-m_i\) gleich Null werden). Unter der Bedingung, daß für alle rechten Seiten die \textit{Lipschitz}schen Bedingungen erfüllt sind, gibt es ein System von Lösungen von \((S)\), das in einem gewissen Gebiete endlich und stetig ist. Ist \(x_0,y_0\) ein Punkt dieses Gebietes, so wird, für \(x=x_0, \frac{\partial^{m_k-h}z^k}{\partial x^{m_k-h}}=\varphi_{k,h}(y) (h=1,\dots,m_k; k=1,2,\dots,n)\); für \(y=y_0\) wird \(\frac{\partial^{n_k-m_k-h}z_k}{\partial y^{n_k-m_k-h}}=\psi_{k,h}(x) (h=1,\dots,n_k-m_k; k=1,\dots,n)\); dabei sind \(\varphi\) und \(\psi\) vorher gegebene Funktionen, die die Bedingungen \(\left[\frac{d^{n_k-m_k-p}\varphi_{kq}}{dy^{n_k-m_k-p}}\right]_{y=y_0}=\left[\frac{d^{m_k-q}\psi_{kp}}{dx^{m_k-q}}\right]_{x=x_0}, (k=1,2,\dots,n; p=1,\dots,n_k-m_k; q=1,2,\dots,m_k)\) erfüllen. -- Es sei nun ein zweites System \((S')\;\frac{\partial^{n_k}u_k}{\partial x^{m_k}\partial y^{n_k-m_k}}=F_k\left(x,y,u_1,\dots,u_n,\dots,\frac{\partial^{p_i+q_i}u_k}{\partial x^{p_i}\partial y^{q_i}},\dots\right)\) unter denselben Bedingungen für \(F_k\) und denselben Grenzbedingungen für die Lösungen gegeben, und es sei \(C\) der gemeinsame Teil der Gebiete, in denen die Lösungen von \((S)\) und \((S')\) endlich und stetig sind, und \(C_{x_0,y_0}^{(1)}\), der Teil von \(C\), in dem \(x>x_0, y>y_0\), dann beweist Verf. folgenden Satz: Wenn für jedes \(k\) und für jeden Punkt von \(C_{x_0y_0}^{(1)}\) und für die Teile der Geraden \(x=x_0, y=y_0\), die \(C\) angehören, die Funktionen \(f_k\) größer oder gleich \(F_k\), sobald die Argumente der ersteren größer oder gleich den analogen Argumenten der zweiten sind, so bestehen zwischen den Lösungen \(\zeta_i\) von \((S)\) und denen \(v_i\) von \((S')\), die die angegebenen Grenzbedingungen erfüllen, die Beziehungen \(\zeta_i\geqq v_i, \frac{\partial^{p_i+q_i}\zeta_i}{\partial x^{p_i}\partial y^{q_i}}\geqq \frac{\partial^{p_i+q_i}v_i}{\partial x^{p_i}\partial y^{q_i}} (i=1,\dots,n; p_i=0,\dots,m_i-1; q_i=0,1,\dots,n_i-m_i-1)\). Der Beweis wird für zwei Systeme, deren höchste Ableitung die dritte ist, geführt.