A note on the continuity or discontinuity of a function defined by an infinite product. (Q1489444)

Der Verf. behandelt die beiden folgenden Fragen, erstens: Folgt aus der Konvergenz des unendlichen Produkts \[ (1)\quad P=\prod_0^\infty (1+a_n) \] die absolute Konvergenz des Produkts \[ (2)\quad P_1(X)=\prod_0^\infty (1+a^nx^n) \] für alle Werte \(| x| <1\), und besteht die Beziehung \(P_1(x)\to P\), wenn \(x\to 1\)? Dabei soll der Weg, längs dessen \(x\to 1\), ganz innerhalb des Einheitskreises verlaufen, diesen nicht berühren und in jedem Punkte eine Tangente besitzen. Zweitens: Folgt aus der Konvergenz von (1) die von \[ (3)\quad P_2(x)=\prod_0^\infty (1+a_nx) \] für alle Werte von \(x\), und \(P_2(x)\to P\), wenn auf irgend eine Weise \(x\to 1\)? Mit Benutzung des Satzes von \textit{Arzelà} (s. \textit{Stolz-Gmeine r}, Einleitung in die Funktionentheorie 2, 431) zeigt \textit{Hardy}, daß die aufgeworfenen Fragen zu bejahen sind, falls das Produkt (1) absolut konvergent ist. Ist dagegen \(P\) bedingt konvergent, so liegt die Sache anders. \textit{Hardy} unterscheidet hier ``reguläre'' und ``irreguläre'' Konvergenz; er nennt \(P\) regulär konvergent, wenn der \textit{Pringsheim}sche Satz (Math. Annalen 22, 482; \textit{Stolz-Gmeiner}, a. a. O. 2, 436) erfüllt ist, d. h. wenn \(\sum a_n,\sum a_n^2,\dots,\sum a_n^{k-1}\) konvergieren und \(\sum a_n^k\) absolut konvergent ist; im andern Falle heißt das Produkt \(P\) irregulär konvergent. Nach dieser Unterscheidung beweist \textit{Hardy} den Satz: Wenn das Produkt (1) regulär konvergiert, so sind die obigen Fragen bejahend zu beantworten. Ist jedoch das Produkt (1) nicht regulär konvergent, so brauchen die vermuteten Beziehungen nicht zu bestehen. \textit{Hardy} zeigt dies an Beispielen, die allgemeine Erörterung dieses Falles hat sich nicht durchführen lassen. Die bloße Konvergenz des Produktes (1) erlaubt also nicht, die bezeichneten Fragen positiv zu beantworten.