Die Graduierung nach dem Endverlauf. (Q1489457)

Die Funktionen der reellen Veränderlichen \(x\), die mit \(x\) unendlich werden, lassen sich bekanntlich deshalb nicht nach der Stärke ihres Unendlichs ordnen (graduieren), weil sehr häufig die Stärke des Unendlichwerdens zweier Funktionen überhaupt nicht vergleichbar ist. Nur innerhalb gewisser Funktionsklassen, die vom Verf. Bereiche genannt werden, ist ein solcher Vergleich möglich, z. B. im Bereiche der ganzen rationalen Funktionen (mit positiven Koeffizienten); alle derartigen Bereiche, soweit man bisher solche betrachtet hat, sind erweiterungsfähig, der vorhin erwähnte z. B. durch Hinzunahme von \(e^x,e^{x^2},e^{x^3}\dots\). Der Verf. beweist nun unter Benutzung des \textit{Zermelo}schen Wohlordnungssatzes, daß es Bereiche gibt, die abgeschlossen, d. h. nicht mehr erweiterungsfähig sind. Er nennt sie ``Pantachien'' und gibt einige Sätze über die Struktur der Pantachien. Die gleichen Überlegungen und Begriffsbildungen greifen auch Platz, wenn es sich um andere Graduierungen handelt, z. B. um die Ordnung konvergenter und divergenter Reihen nach dem Grade der Konvergenz und Divergenz; der Verf. geht ausführlicher auf ein anderes Beispiel ein, nämlich auf die Graduierung von Zahlenfolgen \[ A\equiv (a_1,a_2,a_3,\dots,a_n,\dots), \] wo die \(a_n\) beliebige reelle Zahlen sind. Ist \(B\equiv (b_1,b_2,b_3,\dots)\) eine zweite Zahlenfolge, dann heißt \[ \begin{matrix} A>B,&\quad\text{wenn schließlich}\quad&a_n>b_n&\quad\text{ist},\\ A<B,&\quad``\quad``&\quad a_n<b_n&\quad``,\\ A=B,&\quad``\quad``&\quad a_n=b_n&\quad``;\end{matrix} \] im allgemeinen wird natürlich keiner der drei Fälle eintreten. Der Verf. definiert Summe, Differenz, Produkt und Quotienten zweier Zahlenfolgen, z. B. \(AB=(a_1b_1,a_2b_2,a_3b_3\dots)\), und leitet einige Sätze aus der Algebra der Zahlenfolgen ab. Eine Menge \(M\) von Zahlenfolgen \(A,B,\dots\) ist ein rationaler Bereich, wenn je zwei Folgen \(A, B\) von \(M\) stets vergleichbar sind, und wenn \(M\) neben \(A, B\) stets auch die Folgen \(A+B, A-B, A\cdot B, A:B\) enthält; die Existenz rationaler Pantachien wird bewiesen. Zuletzt wendet der Verf. einige seiner allgemeinen Sätze auf konvergente und divergente Reihen mit positiven Gliedern an; er beweist u. a. folgendes: \(\mathfrak U\) sei eine abzählbare Menge konvergenter, \(\mathfrak B\) ein abzählbarer Bereich divergenter Reihen; dann gibt es konvergente (divergente) Reihen, deren \(n\)-tes Glied schließlich größer (kleiner) wird als das \(n\)-te Glied irgend einer gegebenen Reihe von \(\mathfrak U(\mathfrak B)\). (Vgl hierzu Enzyklopädie \(I_1\), S. 90.)